Movimiento sobre una curva: encontrar la razón de cambio

nos dicen que una partícula se mueve a lo largo de la curva x cuadrada porque cuadrada igual a 16 por lo que la coordenada x cambia a una tasa constante de menos 2 unidades por minuto cuál es la tasa de cambio en unidades por minuto de la coordenada que de la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 14 bueno vamos a reescribir lo que nos están diciendo la curva estaba escrita por equis cuadrada ye cuadrada igual a 16 es lo que nos dicen aquí y también nos dicen que la coordenada x cambia a una tasa constante vamos a subrayar eso la coordenada x cambia a una tasa constante de menos 2 unidades por minuto así que podemos decir que de x lo escribiré del lado derecho x / de t la tasa de cambio de la coordenada x respecto al tiempo es igual a menos 2 unidades entre minuto y nos piden que calculemos cuál es la tasa de cambio de la coordenada de la partícula vamos a subrayar eso cuál es la tasa de cambio de la coordenada g de la partícula entonces nos piden que calculemos de g dt eso a que es igual si nos dicen que la partícula se encuentra en el punto 14 bueno cuando x es igual a 1 si x es igual a 1 y que es 4 hay alguna ecuación que podamos usar que involucre a la tasa de cambio de x con respecto a t que con respecto a t x y que bueno qué pasa si sacamos la derivada de esta función que describe la curva qué les parece si sacamos la derivada con respecto a t en ambos lados de la ecuación escribamos eso mejor moveré esto para que tengamos más espacio vamos a sacar la derivada con respecto a t en ambos lados de la ecuación si en algún momento se sienten inspirados los invito a que pause en el vídeo y traten de resolverlo ustedes primero bueno vamos a ver del lado izquierdo si vemos esto como el producto de dos funciones podemos sacar la derivada de la primera función que es la derivada de x cuadrada con respecto a t y eso es igual a 2x y recuerden no solamente estamos sacando la derivada con respecto a x sino también con respecto a t así que necesitamos aplicar la regla de la cadena entonces nos queda que la derivada de x cuadrada con respecto a x es 2x por la derivada de x con respecto a t entonces por de x de t y después vamos a multiplicar eso por la segunda función que es cuadrada entonces por qué cuadrada más la primera función que es x cuadrada por la derivada de la segunda función con respecto a t que nuevamente si aplicamos la regla de la cadena la derivada de cuadrada con respecto a que es igual a 2 g y después por la derivada de y con respecto a t entonces por de g de t de t y esto es igual a la derivada de 16 con respecto a t pero como esto no cambia con el tiempo es igual a 0 ahí está y vamos a simplificar esto un poco miren ya tenemos una ecuación que relaciona a la derivada de x con respecto a t con la derivada de y con respecto a t entonces déjenme reescribir esto una vez más para que podamos simplificarlo pues lo que queremos es dt mejor de una vez vamos a sustituir los valores nosotros queremos saber qué es lo que pasa cuando x es igual a 1 entonces ya sabemos que x es igual a 1 y x cuadrada es 1 al cuadrado así que es igual a 1 y también sabemos que que es igual a 4 entonces esto es igual a 16 y esto es igual a 8 y sabemos que la derivada de x con respecto a t es menos 2 nos lo dijeron en el enunciado esto es igual a menos 2 ok entonces simplificamos todo esto vamos a ver todo esto es igual a 2 x 1 x menos 2 eso es igual a menos 4 por 16 entonces esto es igual a menos 64 y después tenemos todo esto que es igual a 1 por 8 del dt que es igual a 8 dt entonces más 8 por la derivada de que con respecto a t y esto es igual a 0 ahora si sumamos 64 en ambos lados nos queda que 8 por la derivada de y con respecto a t es igual a 64 y al dividir ambos lados entre 8 nos queda que la derivada de y con respecto a t es igual a 64 entre 8 y eso es igual a 8 entonces es igual a 8 unidades unidades entre minuto 8 unidades por minuto y lista