Movimiento sobre una curva: encontrar la magnitud del vector de velocidad

una partícula se mueve a lo largo de la curva x 16 por lo que la coordenada y incrementa déjenme subrayar eso la coordenada e incrementa a una tasa constante de 2 unidades por minuto eso significa que la tasa de cambio de jake con respecto a t es igual a 2 cuál es la magnitud en unidades por minuto del vector de velocidad de la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 44 bueno x es igual a 4 y ya es igual a 4 ok pero primero recordemos que es un vector de velocidad miren nuestra velocidad está en función del tiempo y tendrá dos componentes pero cuál es la tasa de cambio en la dirección x y cuál es la tasa de cambio en la dirección y bueno la tasa de cambio en la dirección x es x dt y la tasa de cambio en la dirección de este y dt y nos dicen que deje de t es una constante es igual a dos unidades por minuto pero no nos están pidiendo el vector de velocidad por sus componentes sino que nos están pidiendo la magnitud nos piden la magnitud del vector de velocidad de la partícula entonces si tenemos un vector supongamos que tenemos el vector a este vector tiene los componentes de hice así que la magnitud de este vector que lo pueden encontrar escrito así o así con dos barras y esto proviene del teorema de pitágoras la magnitud del vector a es igual a la raíz cuadrada de b cuadrada más se cuadrada por lo tanto en este caso es la raíz cuadrada del componente x al cuadrado más el componente y al cuadrado entonces si queremos calcular la magnitud de nuestro vector de velocidad es decir la magnitud del vector de velocidad de la partícula bueno podemos decir que la magnitud de p en función de t es igual a la raíz cuadrada del componente x al cuadrado que en este caso es la tasa de cambio de x con respecto al tiempo al cuadrado más el componente que al cuadrado que en este caso es la tasa de cambio de g con respecto a t al cuadrado y cómo podemos resolver esto cómo podemos calcular estas dos cosas bueno ya sabemos que la tasa de cambio de y con respecto a t es una tasa constante de dos unidades por minuto entonces ya sabemos que esto es igual a 2 por lo tanto todo esto es igual a 4 y como calculamos la tasa de cambio de x con respecto a t bueno para eso podemos usar la ecuación original que describe la curva y podemos sacar la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto a y eso nos dará una ecuación que involucra a xy con de x dt y d jeter entonces hagamos eso tenemos que xy es igual a 16 y vamos a sacar la derivada de esto con respecto a t lo escribiré de otro color vamos a sacar la derivada con respecto a t de todo esto y la derivada con respecto a t de este lado ahora del lado izquierdo tenemos un producto de dos funciones entonces mire si decimos que x es una función de t y gec también es una función de t aquí podemos aplicar la regla del producto y la regla de la cadena esto es igual a la derivada de la primera función la derivada de x con respecto a x que es 1 por la derivada de x con respecto a t la segunda función es decir porque más la primera función que es x por y cuál es la derivada de y con respecto a que claro es igual a uno y después cuál es la derivada de y con respecto a t bueno es igual a tg dt y eso es igual a la derivada de una constante y eso es igual a cero ahora cómo podríamos simplificar esto bueno en realidad ya no necesitamos simplificarlo mejor simplemente vamos a sustituir los valores y calculemos de x dt sabemos que de 7 es igual a todos y nos piden la magnitud del vector de velocidad de la partícula cuando la partícula se encuentra en el punto 44 entonces cuando x es igual a 4 x es igual a 4 y es igual a 4 que es igual a 4 bueno esta es la ecuación que podemos usar pues sólo tenemos una incógnita que es la tasa de cambio de x con respecto a t en el punto 4 4 entonces si resolvemos esto podemos sustituirlo aquí y calcular la magnitud del vector de velocidad vamos a escribirlo aquí tenemos 4 de x dt más 4 x 28 y esto es igual a 0 entonces si restamos menos 8 en ambos lados nos queda 4dx dt y al dividir ambos lados de la ecuación entre 4 nos queda que de x dt es igual a menos 2 por lo tanto en este punto el cambio en x con respecto a t es igual a menos 2 y si lo elevamos al cuadrado nos queda 4 por lo tanto la magnitud de nuestro vector de velocidad es igual a la raíz cuadrada de 44 que es igual a 8 y eso es igual a 4 por 2 entonces esto es igual a 2 por la raíz cuadrada de 2 unidades por minuto esta es la magnitud del vector de velocidad