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Transcripción del video

lo que tenemos aquí es la gráfica de hebe igual al seno de dos veces teta en coordenadas polares y si las coordenadas polares te parecen completamente desconocidas o necesitas un repaso de ellas te encargo que busques coordenadas polares en khan academy o le eches un vistazo a la sección de pre cálculo pero te voy a dar un pequeño repaso por aquí para que nos familiaricemos con él porque esta gráfica se ve de esta manera lo que estamos haciendo para cada punto de esta gráfica bueno sabemos que podemos ver cada punto en términos de coordenadas x y james pero también podemos especificar los en términos de un radio y de un ángulo así que por ejemplo este punto podemos decir que tiene una coordenada xy una coordenada james o podemos trazar una recta desde el origen hasta ese punto y especificar que para un cierto ángulo theta tenemos un cierto radio r que es la distancia antes del origen hasta ese punto y sólo para familiarizarnos con esta curva veamos por qué esto es intuitivo cuando teta es igual a cero r es igual a cero porque es el seno de cero que es cero así que está r está en el origen y si te empieza a crecer r empieza a crecer así que empezamos a trazar este primer pétalo o esta primera hoja de este trébol o como quieras verlo y nos vamos a mantener creciendo hasta que lleguemos a theta igual a pi cuartos qué va a pasar cuando te estás igual a pi cuartos bueno estamos justo aquí y si observas tenemos el seno de dos veces pi cuartos que es igual al seno de pi medios que es lo mismo que uno así que parece que llegamos a un valor máximo allí y después de ese valor nuestro radio r parece que ahora está decreciendo de nuevo bien ahora vamos a pensar esto en términos del cálculo así que la primera pregunta que seguramente te harás es cómo puedo expresar mi tasa de cambio de r con respecto a theta pausa el vídeo e intenta encontrar cuánto vale r prima de teta bueno realmente no hay nada nuevo aquí tenemos una variable como función de la otra así que simplemente podemos usar la regla de la cadena para tomar la derivada con respecto a theta por lo tanto la derivada con respecto a teta va a ser dos en homs de dos veces este está ok ya esto hay que multiplicarlo por la derivada de dos tetas lo cual es simplemente dos así que pondré el 2 al principio multiplicando ahora pensemos en cómo podemos expresar esta curva en términos de x y de yes y después pensemos en sus respectivas derivadas ok regresemos al repaso de pre cálculo ahora si queremos pasar el mundo polar al mundo digamos rectangular entonces tenemos que recordar las transformaciones siguientes james es igual r por el seno de teta y la otra que es x es igual a r por el coseno de teta ahora porque esto tiene sentido bueno tomemos algunas de nuestras combinaciones de radio y ángulo digamos que esta es nuestra teta y que ésta es nuestra era entonces la longitud de este lado va a ser nuestra yema y la longitud de este otro lado será nuestra equis pero sabemos por nuestras definiciones del círculo unitario es decir por trigonometría por las definiciones del shock actúa de nuestras funciones trigonométricas que el seno de teta es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa por lo tanto el seno de teta en este caso es igual a g / r que es nuestra hipotenusa y el coste de beteta es igual a bueno x / ere y ahora si simplemente multiplicamos a ambos lados de esta ecuación por r obtenemos nuestras expresiones para x y para james en términos de ere y de teta una vez más si esto se te hace muy rápido o confuso recuerda que esto es simplemente un repaso de coordenadas polares de nuestra sección de pre cálculo y ahora podemos usar estas dos para expresar el jr y x en términos simplemente de teta y como hacemos eso bueno ya sabemos que r es igual al seno de dos tetas entonces podemos reemplazar estas eres por el seno de dos teta y entonces me quedaría aquí que es igual al seno de dos tetas que es lo que vale esta r por el seno de teta ok y x es igual al seno de dos tetas que es lo que vale la renta por el seno del tc perfecto ahora podemos usar estas dos expresiones para encontrar la tasa de cambio de james con respecto a teta y de x con respecto a teta pausa el vídeo e intenta encontrar estas derivadas bien vamos a trabajarlo juntos ok ahora usemos nuestras técnicas sobre las derivadas vamos a escribir a prima de teta y usar la regla del producto la derivada de esta expresión de rojo bueno ya la sabemos es dos veces el coseno de dos tetas eso está escrito acá arriba y como vimos hace rato sale de la regla de la cadena y a esto habrá que multiplicarlo por la segunda expresión que es simplemente el seno de teta ya esto hay que sumarle la primera expresión que es el seno de dos teta y multiplicarlo por la derivada de la segunda expresión que es la derivada del seno de teta que es conocernos de teta entonces esto por coseno de teta y ahora hagamos lo mismo para x x prima de teta es igual a la derivada de la primera expresión que es dos veces con seno de dos tetas eso ya lo vimos por la segunda expresión tal cual está que es el co seno de teta ya esto hay que sumarle la primera expresión tal cual está que es el seno de dos teta y multiplicarlo por la derivada de la segunda expresión la derivada del coche no de teta es igual al menos seno de eta entonces le cambiaremos el signo y nos quedan menos seno de dos teta por el seno de teta y de hecho podemos usar esto para evaluar algunos puntos podemos decir qué pasa cuando teta es igual a pi cuartos ok vamos a ponerlo en color negro para que resalten estaríamos justo aquí en este punto pues vamos a evaluar las derivadas y tengo que prima de pi cuartos va a ser igual a dos veces el coseno de dos por tres cuartos lo cual es pri medios ok por el seno de pi cuartos ok ya esto hay que sumarle el seno de m2 por pi cuartos lo cual es pri medios el seno de pi medios por él coseno de pitt cuartos ya cuántos igual esto bueno sabemos que el coste no de medios es igual a cero entonces todo esto se cancela y luego tengo el seno de pi medios que es igual a 1 y el coseno depp y cuartos que es igual a la raíz de 2 entre 2 entonces simplemente me queda que todo esto es igual a la raíz de dos entre dos y de hecho para ahorrar espacio mejor marquemos que esta es la respuesta de ye prima detectan cuando teta es igual a pi cuartos ahora podemos hacer lo mismo para equis y decir x prima evaluada en pi cuartos me va a quedar 2 por el coseno de pi medios lo cual es 0 por lo tanto el primer sumando va a ser el mismo simplemente será 0 ok entonces quitemos lo menos el seno de pi medios por el seno de pi cuartos déjame escribirlo con su respectivo color el seno de dos veces pi cuartos es el seno de pri medios por el seno de pi cuartos ahora el seno de pi medios este de aquí es simplemente uno y el seno de pi cuartos eso es lo mismo que la raíz de dos sobre dos así que con este menos me va a quedar que expriman evaluada en teta igual a pi cuartos es igual a menos raíz de dos entre dos y ahora veamos porque esto tiene sentido pensemos en lo que pasa cuando te tan crece por aquí bien veamos si aumentamos nuestro ángulo teta de pi cuartos a algo un poco más grande observa nuestra coordenada james sigue creciendo y esto tiene sentido porque tenemos una pendiente positiva y ahora qué le pasa a nuestra coordenada x bueno observa mientras theta aumenta un poco nuestra x decrece y es por eso que tiene sentido tener una tasa de cambio negativa y bueno la segunda pregunta que te puedes hacer es ok ahora quiero encontrar la tasa de cambio de con respecto a x porque quiero encontrar la pendiente de mi recta tangente cómo puedo encontrarla bueno parece que tengo por aquí observa una pendiente de menos 1 pero cómo podemos calcularla bueno una forma de pensarlo es la siguiente sabemos que la derivada de con respecto a x bueno esto es igual a la derivada de con respecto a theta entre la derivada de x con respecto a teta y en este valor que estamos calculando cuando te estás igual a pi cuartos bueno esto va a ser igual a la derivada de con respecto a x es lo mismo que primero tengo la derivada de ye con respecto a theta lo cual es raíz de 2 sobre 2 y después de hace que la derivada de x con respecto a teta es menos raíz de 2 entre 2 y bueno esto se simplifica y simplemente me quedan menos 1 lo cual tiene sentido se puede observar que la pendiente de mi recta tanger está aquí es de menos 1 así que espero que todo esto te haya ayudado espero que poner todo junto te haya hecho sentir un poco más cómodo tuvimos un pequeño repaso sobre las coordenadas polares pero aumentamos nuestro conocimiento aprendiendo a tomar algunas derivadas continuaremos en el siguiente vídeo hasta pronto
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