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Transcripción del video

ya tenemos bastante experiencia calculando áreas bajo la curva cuando tenemos coordenadas rectangulares tomamos la sumergida para una gran cantidad de rectángulos que tiene infinito a medida que se hacen infinitamente pequeños y de esa manera obteníamos el área pero ahora veamos qué sucede cuando tenemos coordenadas polares en coordenadas polares no encontramos propiamente el área bajo la curva aquí por ejemplo tenemos la gráfica de era igual a efe dt está trazada desde que te está es igual al fa hasta que te está es igual a beta lo que quiero hacer en este vídeo es obtener una expresión general para encontrar el área de esta región que estoy marcando en azul esta región que podemos decir que está acotada por esos ángulos y la gráfica de r igual a efe dt está era igual a efe beteta y me gustaría que intente desarrollar la expresión por sí mismo para lo cual te voy a dar una ayuda cuando hicimos el cálculo en coordenadas cartesianas dividimos las regiones rectángulos aquí los rectángulos no son tan obvios pues todos parecían llegar a este punto pero qué tal si dividimos la región en estos que podríamos denominar sectores o más bien rebanadas de pan así es que ahora en vez de tomar las áreas de rectángulos como hicimos en coordenadas cartesianas vamos a tomar el área de cada una de estas secciones que tenemos aquí que efectivamente parece en rebanadas de pan posteriormente tomaremos se limite a medida que éstas rebanadas se hacen cada vez más pequeñas y por consiguiente el número rebanadas se hace cada vez más grande es decir tomaremos el límite cuando el número de rebanadas tiende a infinito y aquí te voy a dar otra ayuda esta ayuda se va a servir para calcular el área de éstas que ya estamos viendo que efectivamente parecen rebanadas de paz veamos voy a dibujar aquí lo mejor posible un círculo voy a hacer mi mejor esfuerzo para que quede efectivamente como círculo aquí estaría el centro así es que si tengo un círculo no quedó tan mal verdad un círculo cuyo radio se re cuyo radio de cierre y si aquí tenemos un sector del círculo este es un sector del círculo aquí también tenemos rr y si este ángulo mídete está entonces cuál va a ser el área de este sector cuál va a ser el área de este sector es la ayuda que te puedo dar suponiendo que el ángulo teta estén radiales como calculas el área de este sector y ver si puedes extender eso a lo que estamos intentando hacer aquí de alguna manera y aquí va otra ayuda usar integración para poder calcular el área de toda esta región supongo que ya lo intentaste pensemos entonces primero en esto para empezar cuál es el área del círculo completo eso ya lo sabemos el área de un círculo se calcula como pi por radio al cuadrado fórmula para el área del círculo así que el área del sector va a ser entonces una fracción del área del círculo si este ángulo esteta y tomamos en cuenta que una vuelta completa corresponde a un ángulo de dos y radiales así es que el área el sector es una fracción teta sobre dos pib del área del círculo multiplicamos entonces por tetas sobre eta sobre eta sobre dos pitch y obtenemos el área el sector la cual calculamos como el área del círculo por la fracción que corresponde al sector con respecto a todo el círculo aquí podemos simplificar para obtener el área el sector es igual a un medio de recua da morte está ahora qué sucede si en lugar de teta consideramos cada uno de estos pequeños ángulos cada uno de estos pequeños ángulos que dibuje aquí vamos ahora enfocarnos entonces en una de estas pequeñas rebanadas como ésta de aquí que estoy resaltando en naranja y aquí la tenemos marcada en naranja en vez de que el ángulo seat eta vamos a suponer que el ángulo que define la rebanada y es realmente pequeño vamos a tomar el diferencial del ángulo quizás matemáticamente es mucho más todo lo que intentó darte la base conceptual de esto tendríamos que tomar del tate taylor el límite cuando de la teta tiende a cero pero estoy dándole un enfoque más bien intuitivo así es que suponemos que aquí tenemos un cambio muy pequeño infinitamente pequeño eta llamémosle de teta de teta mientras que el radio el radio de esta rebanado la longitud podríamos decir de esta pequeña rebanada va a ser rr como función detecta esta longitud está dada por rr como función del ángulo te está ahí así es que esta longitud está dada por rr así es que cuadra ser entonces el área de este pequeño sector el área de este pequeño sector en donde en vez de llamar al ángulo teta estoy llamando detecta el diferencial de teta así es que el área en vez de ser un medio de recuerda teta va a ser vamos a ponerlo aquí el área de este sector va a estar dada por un medio de recuadro ada de teta notamos que el ángulo fue teta y aquí fue de teta súper súper súper pequeño ahora sí quiero tomar la asume las áreas de todos esos pequeños sectores desde que te sigo al alfa hasta que te sigo a la beta recordando que son sectores infinitamente pequeños con lo cual el número de ellos es infinitamente grande lo que tenemos que hacer para calcular el área de toda la región es simplemente integrar esta expresión así es que el área de toda esta región va a estar dada por la integral desde que te sigo al alfa hasta que te sigo a la beta del área de cada uno de estos sectores es decir de un medio de recuadro ada dt está donde re por supuesto es una función de teta así es que esto lo puedes escribir como esto es igual al integral desde alfa hasta beta de un medio de rr dt está elevado al cuadrado dt está insistiendo que en este caso estamos suponiendo que r es una función de teta
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