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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es analizar lo que significa el valor promedio de una función sobre un intervalo cerrado veamos qué quiere decir eso del valor promedio de una función para esto supongamos que este es mi eje y y este de aquí este de aquí es mi eje x y por aquí tenemos la gráfica de nuestra función ye yé igual a fx y ahora consideremos un intervalo cerrado un intervalo que inicia en a y termina en b incluyendo los valores de los extremos a y b eso es lo que determina que el intervalo sea cerrado entonces para x entre a y b que es lo que significa el valor promedio de esta función podríamos pensar que representa la altura promedio de esta función pero aún así qué significa esta altura promedio está la podríamos pensar como la altura de un rectángulo que si la multiplicamos por la base que es la longitud del intervalo obtendríamos el área bajo la curva es decir el área bajo la curva que tenemos aquí déjame hacerlo con otro color así es que el área bajo la curva que tenemos aquí que estoy rellenando en amarillo esto ya sabemos que lo puedes calcular como la integral definida desde esta vez de fx de x de tal manera que cuando nosotros calculamos el valor promedio de la función sobre el intervalo cerrado déjame escribirlo aquí sobre el intervalo cerrado que va de a a b incluyendo a llave y ese valor promedio lo vamos a representar como una altura la voy a poner aquí con otro color esta que vamos a llamar la altura promedio aquí lo tenemos lo que sería el valor primero de la función de tal manera que si yo multiplico esta altura por la base de un rectángulo que la distancia de ave voy a obtener el área de un rectángulo que sería el área de este rectángulo cuyo valor es exactamente el mismo del área bajo la curva lo cual hace sentido si te recuerdas cómo calcular una manera de calcular el área de un trapezoide para lo cual multiplicas el promedio de las bases por la altura veámoslo sí aquí tenemos un trapezoide un trapezoide como éste para el cual su área la calculamos multiplicando la altura el promedio de las bases así es que este sería este de aquí sería el promedio de las bases que en un trapecio regular está justo a la mitad esta función no es lineal así es que aquí no va a estar exactamente a la mitad pero el concepto es similar así es que como podemos usar esta idea si a esta altura que tenemos aquí la llamamos el promedio de la función si este valor corresponde al promedio de la función como podemos obtener una fórmula que nos permita calcular el promedio de la función sobre el intervalo cerrado bien eso ya lo mencionamos dijimos que este valor promedio de la función vamos a ponerlo aquí el valor promedio de la función corresponde a la altura de un rectángulo cuya base corresponde a la longitud del intervalo cerrado la cual podemos calcular como el mayor menos el menor b menos a es lo que mide la base de ese rectángulo así es que se multiplicó la altura el promedio la función por b menos a esto nos proporciona el área de ese rectángulo que es equivalente al bajo la curva es decir esto es igual a la integral de a a b de fx de x una vez que tenemos esto podemos despejar el valor promedio de la función dividiendo ambos lados entre b menos a obtenemos que el promedio de la función es igual 1 sobre venenosa que multiplica a la integral de a ave de fx de x otra manera de ver esto es que vas a dividir el área bajo la curva sobre la longitud del intervalo para obtener el valor promedio de la función el cual podemos ver como la altura promedio quiero insistir en que no tienes que memorizar esto simplemente entender lo que esta fórmula representa si tomamos el área bajo la curva y la dividimos entre la longitud del intervalo obtenemos la altura promedio la cual corresponde al valor promedio de la función en el siguiente vídeo aplicaremos esta fórmula la cual una vez que se obtiene el valor de esta integral se calcula de manera inmediata
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