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Transcripción del video

ya tenemos un montón de vídeos sobre la idea del teorema a mí déjame ponerlo aquí teorema del valor medio valor medio y bueno aunque tenemos ya un montón de vídeos sobre esta idea quiere repasar un poquito porque quiero ver cómo se conecta esta idea del teorema del valor medio que estudiamos en el cálculo diferencial con la idea del valor promedio de una función usando integrales definidas así que el teorema del valor medio que nos decía nos dice que si tenemos una función efe voy a ponerlo aquí que si tenemos una función efe la cual es continua con tino a en el intervalo aa y vamos a ponerlos y en el intervalo cerrado a coma be ok tengo una función continúa en este intervalo y además que es diferenciable en el intervalo abierto a como b déjame ponerlo así es diferenciable di fe en sí hablé ok en el intervalo abierto a como be ok en a como b y ojo estamos tomando un intervalo abierto es decir la derivada está definida en este intervalo abierto no necesariamente tiene que ser diferenciable en las fronteras pero lo que sí es que tiene que ser derivable entre las fronteras y bueno si tenemos estos dos entonces nosotros sabemos lo siguiente entonces nosotros sabemos que existe algún valor o algún número pensamos mejor en algún número así que lo voy a escribir existe existe ok un número número número que vamos a llamar se oakley existe un número se tal que tal que ok y eso es muy importante va a ocurrir lo siguiente se existe entre estas dos fronteras así que lo escribe así a es menor que sé que es menor que ven ok se existe entre las dos fronteras y y esto es muy importante y además se cumple y esto es muy importante porque es la parte central de este teorema además se va a cumplir que la derivada de la función en ese punto hoy lo puedes ver cómo la pendiente de la recta tangente en ese punto a mí esto lo voy a poner si como efe prima ok de cm esto va a ser exactamente igual y lo puedes ver cómo la tasa de cambio en ese intervalo o lo podemos ver cómo la pendiente que se genera entre estos dos puntos finales y bueno la pendiente que se genera entre estos dos puntos finales a la podemos ver cómo el cambio en jem y para eso vamos a pensar en efe db ok esto - bueno pues fd a efe de a ok esto a su vez está dividido entre amd bueno pues ve - a b - a de lujo y bueno realmente profundizamos mucho más en este tema en el primer curso de cálculo pero sólo recordando vamos a analizarlo un poco de manera visual porque creo que es mucho más intuitivo si lo analizamos de una manera visual justo por aquí así que déjame mujer aquí dos ejes han tenido aquí uno de mis ejes aquí tengo otro de mensajes han dejado de poner que éste es uno de los ejes este va a ser otro de mis ejes y bueno voy a decir que por aquí tengo a a ok por aquí voy a tener ave y por aquí también tengo a mi función haciendo algo interesante mi función hace algo más o menos así ok y bueno entonces voy a decir que aquí tengo a efe dan por aquí tengo a efe db y bueno sabemos queremos fijar en justo lo que tenemos aquí en esta expresión que tenemos aquí bueno pues creo que te des cuenta lo siguiente a efb menos y fedea es am esta distancia que tengo aquí esta estancia que tengo aquí es que debe - efe de amd ok y bueno venosa es justo la distancia que tengo de aquí hasta acá ok y bueno si te das cuenta lo que nos estamos fijando realmente es en la pendiente de la recta que se genera entre esos dos puntos la pendiente de la renta que va de este punto hasta este otro punto justo está aquí y bueno justo lo que nos dice el teorema del valor medio es que existe una cm existe un ace en ese intervalo y déjame ponerlo con este color el cual su pendiente de su recta tangente exactamente igual a está pendiente de esta recta que tenemos en azul es decir am por aquí tenemos a un ac am justo esté por aquí va a ser un valor para hacer el cual va a cumplir y que si nos fijamos en la pendiente de su recta tangente es exactamente igual que la pendiente de esta recta que cruza todo este intervalo y bueno puede ser solamente ésta se pueden existir varias pero lo que sí sabemos es que al menos existe una cm y ojo estamos hablando de una función continua y diferenciable en este intervalo ahora seguramente cuando tú ves esto algo de ti te recuerda o encuentras alguna semejanza con la fórmula o la definición del valor promedio de una función y vamos a recordar la el valor promedio ok voy a ponerlo así promedio de una función esto lo definíamos como uno entre bm menos a ok esto que a su vez multiplica a la integral a la integral definida desde a hasta bbb ok de fd xd xd x y bueno date cuenta que aquí tenemos uno entre venosa y por aquí también tenemos ve - an como denominador y seguramente esto te va a parecer muy interesante porque aquí estamos hablando de una derivada y aquí estamos hablando de una integral entonces parece que podemos conectar estas dos ideas y bueno seguramente tal vez lo primero que te salta a la vista es que entonces podemos encontrar una forma de escribir este numerador que tengo aquí como esta expresión que tengo justo aquí y de hecho encargo que pausas el video y piense en cómo reescribir este numerador como éste integral que tengo aquí y te voy a dar una pista date cuenta que aquí tenemos fd x cuando por acá necesitamos efe prima de x así que tenga algo que piensa es en esto por un rato y bueno regresando una vez más esta parte de la cam am podemos escribir la de la siguiente manera y pon mucha tensión esto lo podemos ver cómo la integral definida de a hasta bbb de efe prima de xd x o key y es que piensen un poco si tomamos anti derivada de efectiva de x solamente nos quedaría fx y si eso lo evaluamos primero en ver nos va a quedar efe db y a esto le tenemos que tomar la diferencia con la función evaluada na es decir efe cda y bueno claro a esto hay que dividirlo a esto hay que dividirlo entre ve - ah ok y de lujo esto se empieza a poner interesante porque una forma de pensar lo es la siguiente debe de existir una cm y cuando evalúa su derivada en sé esto es lo mismo que el valor promedio de la derivada o podemos pensar de la siguiente manera u otra forma de verlo es que si bautizamos a una nueva función y déjame ponerlo con este nuevo color que bautizamos a una función como gdx igual a efe prima de x a efe prima de x entonces vamos a estar muy cerca de lo que tenemos justo aquí y para eso dejan bajar un poco la pantalla y vamos a escribirlo de la siguiente manera esto que tenemos aquí lo podemos ver como gds como jefe de ser como jefe de cm y bueno esto por la definición porque gdc es lo mismo que ft prima de cm y bueno esto es exactamente lo mismo que uno entre venenosa y lo voy a poner con este mismo color uno entre - ah ok esto que a su vez multiplica a la integral desde a hasta bbb ok de fp prima de xd x pero efe prima de x es lo mismo que gdx por lo tanto no voy a escribir como gdx de x esto por la definición de gdx gdc es igual a 1 entre ve - a que multiplica a la integral desde a hasta bbb de gdx de x y esto es paul nuestra definición de gdx de lujo y es que esta es otra forma de pensar lo que de hecho es otra forma de ver el teorema del valor medio y por cierto a esto le llaman el teorema del valor medio déjame ponerlo así el teorema del valor medio pero para integrales para integrales integrales de lujo qué bueno esencialmente lo que nos va a decir es que si tenemos una función gdx gdx que sea continúa con tino ok en el intervalo cerrado a coma be ok entonces debe de existir a y texana ponerlas y entonces entonces existe ese entonces existe ceem ok y ésta se amb es tal que obtiene la propiedad que se cumple kg evalúa dance es lo mismo que estoy aquí y que estoy aquí nuestro valor promedio de la función entonces déjame ponerlo así entonces existe ceem tal que ok tal que a ange de cm g de ese es exactamente igual que ge promedio que promedio es decir el valor promedio de la función pero bueno en general lo que quería contarte es la definición del teorema del valor medio para integrales este kim y que te das cuenta de que es muy parecido claro sólo con una anotación distinta al teorema del bar por medio que vimos en cálculo diferencial y bueno también quiero que te des cuenta que tiene una diferencia pequeña en su interpretación cuando nosotros nos fijábamos en la interpretación y deje subir para que la pantalla de el teorema del valor medio hablando de cálculo diferencial entonces pensábamos en un valor sem en este punto que tiene la cualidad de que la pendiente de su recta tangente es la misma que la tasa promedio de cambio en este intervalo aunque la pendiente promedio en este intervalo esto visto desde la perspectiva del cálculo diferencial hablando de pendientes y ahora cuando lo vemos sólo pensamos en un contexto en el cálculo integral bueno pues realmente lo que estamos hablando es del valor promedio de la función estamos hablando de promedios es decir existe una cm tal que el valor de la función evaluada en ese punto cm es igual al valor promedio de la función otra forma de ver dónde quería y dejen de poner aquí un pequeño dibujo si yo lo dibujó algo así tengo aquí mis dos ejes voy a tener un eje por aquí otro eje para cam am voy a decir que éste es mi ley y este es mi eje x que y bueno voy a poner por aquí a mi función gdx voy a suponer que esa función gdx ésta que tengo aquí voy a dibujarla algo así ok aquí tengo mi función gdx y lo voy a poner así llegué es igual a gdx y para nosotros queremos fijarnos en un intervalo en el intervalo que va desde a ok hasta be ok vamos a poner de por aquí y no viajar en este intervalo por acá ok a y por acá ok y entonces nosotros ya vimos cómo calcular nuestro valor promedio que tal vez sea han dejado a cambiar de color me gusta este deporte aquí esté por aquí va a ser g promedió ok y realmente lo que nos dice el teorema del valor medio para integrales es que debe de existir un ace a aunque en este caso va a ser estar aquí tal que cuando evaluamos hace en esta función a anv de japón era así cuando evaluamos hace en esta función g nos da el valor promedio gd se toma el valor de g promedio y claro dónde está se está en este intervalo
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