Calcular la integral de un disco alrededor de una recta vertical

en el vídeo pasado llegamos a esta expresión del volumen que era el volumen de este sonido de revolución que yo tengo aquí arriba que se parece un tazón un poco extraño pero justo atrás de estos lo que voy y entonces lo que vamos a hacer en este vídeo es resolver esta integral y para esto lo primero que tenemos que hacer es este binomio al cuadrado perfecto por lo tanto me va a quedar pi que multiplica a la integral evaluada desde ya igual a menos 1 hasta igual a 3 de todo esto que tengo aquí que es un binomio cuadrado perfecto por lo tanto me queda cuadrado del primero cuadrado con la raíz se va y me queda más uno después es dos veces el primero por el segundo es decir dos por dos es cuatro por la raíz de ye más uno y después me queda cuadrado el segundo que es más cuatro y bueno todo esto multiplicado por de james y se dan cuenta se puede simplificar un poco porque uno más cuatro me dan cinco entonces estos dos los voy a sumar y me dan cinco y ahora sí voy a resolver esta integral y para esto voy a buscar las anti derivadas respectivas entonces déjame ponerlo ya en un corchete porque es lo que voy a evaluar veamos me va a quedar la anti derivada de apuesta es muy fácil cuadrada entre 2 después a esto hay que agregarle la anti derivada de cuatro veces la raíz de ye más uno pero esto sale por sustitución porque esta expresión es lo mismo que decir que tengo cuatro veces que multiplica ye más uno elevado a la un medio y podríamos decir que lo de aquí adentro es u pero como no está tan difícil podemos calcular dvd una vez y la diferencia el dvd lo que está que adentro es simple y sencillamente de y por lo tanto es una integral muy sencilla y espero que tengas práctica con esto lo único que hay que hacer es sumarle uno al exponente es decir me va a quedar ye más un elevado a la tres medios y después x y esto multiplicado por el recíproco de tres medios es decir dos tercios pero dos tercios por cuatro es lo mismo que ocho tercios entonces al final me quedan ocho tercios que multiplican a ye más uno elevado a la tres medios espero que ya tengas más práctica con esto y bueno después hay que agregarle a esto la anti derivada de 5 de james delante derivada de 5 day es una cosa muy sencilla y simple sencillamente 5 veces y todo esto lo voy a evaluar desde ye igual a menos 1 hasta igual a 3 desde tres a menos uno y por lo tanto pues vamos a seguir haciéndolo primero hay que evaluar en tres por lo tanto me queda pi que multiplica y ahora voy a sustituir cualquier ye por tres entonces me queda tres al cuadrado entre dos lo cual son nueve medios más me queda tres más uno elevado a tres medios es lo mismo que cuatro elevado a tres medios y si le sacamos la raíz a cuatro estos elevado al cubo es 8 por 8 son 64 tercios más hay que agregarles 5 por 3 es decir más 15 3 por 5 es sí sí sí sí es 15 y a todo esto a todo esto le voy a quitar la evaluación en menos 1 entonces me queda menos 1 elevado al cuadrado entre 2 pues es lo mismo que un medio esto está muy sencillo después menos uno más uno es cero y cero elevado a lo que sea es cero y cero por lo que sea es cero por lo tanto todo esto cuando oye es igual a menos uno se va se cancela y al final me queda cinco por menos 15 15 y entonces lo único que tengo que hacer es resolver estas respectivas cuentas estas respectivas operaciones y ya con esto encontraría el volumen que yo quiero así que vamos a hacerlo entonces me queda pi que multiplica y voy a sacar el mínimo común múltiplo de todos estos que tenemos aquí el común denominador de 2 3 y 2 pues es 6 entonces voy a pasar 9 medios a sextos que es lo mismo que multiplicar 3 por 9 que es 27 y abajo por 3 es decir 27 sextos más 64 tercios para pasar los sextos es lo mismo que 128 sextos y después 15 para pasar los sextos es lo mismo que 90 sextos 6 por 15 es 90 y después a esto hay que quitarle menos un medio pero un medio escrito en sextos es lo mismo que 3 sextos y después menos x menos me da más y 5 escrito en sextos es lo mismo que 6 por 5 30 30 sextos y ahora si tengo escrito todo en sextos por lo tanto ya puedo hacer la operación de todo esto el denominador me va a quedar 6 el resultado de toda esta operación hay que multiplicarla por pi y después dice 7 128 27 128 es 78 es quince llevamos una dos y dos son cuatro y 15 y por lo tanto me queda 155 en total 6 27 128 si de aquí a camps son 155 entonces déjenme escribirlo aquí estos son 155 y después de que sumarle el 90 155 más 90 también está fácil es 245 entonces hasta aquí llevamos 245 y después le quitamos 3 a 245 le quitamos 3 pues me quedan 242 aquí no hay tanto problema y a 242 le sumamos 30 pues también está muy fácil esto es lo mismo que 272 por lo tanto mi resultado final son 272 y sextos pero creo que esto se puede simplificar porque ambos son divisibles entre 2 entonces le voy a sacar mitad a ambos me queda la mitad de 272 es la mitad de dos es uno la mitad de 72 es 36 entonces me queda 136 pi y la mitad de 6 es 3 entonces me queda 136 pi tercios y 136 no es divisible entre 3 porque si sumamos los dígitos no es divisible entre 3 y es hora de sentirnos orgullosos porque hemos acabado pues aquí ya tenemos el volumen de nuestra pequeña gomita volteada