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Transcripción del video

pues vamos a seguir hablando acerca de sólidos de revolución y calculando sus volúmenes pero en esta ocasión me voy a tomar la función que es igual a la raíz de x y si ustedes hacen un poco de memoria su gráfica se ve más o menos así pueden dibujarla y darse cuenta que esta es la gráfica de que es igual a la raíz de x a la raíz positiva de x ahora esto no va a acabar aquí también me voy a tomar otra función en este problema en este problema vamos a considerar también la función que es igual a x la función identidad y por qué porque ahora lo que voy a querer hacer es girar estas dos funciones y calcular el volumen del sólido de revolución que me queda entre estas dos funciones es decir lo que voy a querer calcular es el volumen del sólido de revolución que me va a quedar al girar el área que está encerrada entre estas dos gráficas alrededor del eje de las x suena interesante no ahora vamos a empezar con la intuición imagínate que aquí voy a dibujar a la función y es igual a la raíz de x pero esta vez girada alrededor del eje de las x por lo tanto que es lo que me va a quedar y esto me va a servir para que lo visualicemos mejor entonces este punto se va a conectar con este punto y esta va a ser la parte exterior del sólido de revolución que en esta ocasión quiero calcular esta parte va a ser la exterior es decir este tazón o este trofeo no sé cómo llamarlo llamémoslo trofeo entonces este trofeo va a ser la parte exterior la cara exterior de este sólido de revolución mientras que por otra parte yo tengo la función y es igual a x por lo tanto adentro de este trofeo yo tengo un cono imagínense que yo giro la función que es igual a x alrededor de elegirlas xy por lo tanto me va a quedar un cierto cono vamos a intentar darle un poco más de proporción y esta es la parte interna de mi sólido de revolución que yo voy a creer o dicho de otra manera vamos a tratar de dibujar alguna de sus paredes imagínense que esta va a ser mi pared esta de aquí es una de mis paredes de mi sólido de revolución claro del sólido de revolución que en esta ocasión quiero es decir esta área que yo tengo aquí es la que voy a girar alrededor del eje de las x y por lo tanto me va a salir un sólido de revolución el cual voy a querer calcular su volumen esta es la pregunta en esta ocasión cómo voy a poder calcular este volumen y ya estoy viendo tu cara de emoción porque ya te estás imaginando cómo vamos a resolver este problema la idea que hay detrás es la siguiente lo que voy a hacer es calcular el volumen del sólido de revolución que está en la función y es igual a la raíz de x ya esto le voy a quitar el volumen del sólido de revolución que me queda al tirar la función que es igual a x por lo tanto vamos a hacerlo para esto voy a utilizar también el método de los discos que hemos venido utilizando en los vídeos anteriores la idea es la siguiente primero me voy a agarrar un disco este disco que tengo yo aquí en la función y es igual a la raíz de x entonces vamos a ponerlo con un color que se vea mejor este va a ser mi radio de mi disco esta es la cara de la moneda o del disco y también teníamos un cierto grosor este va a ser mi grosor que en este caso era de x recuerdan este es mi grosor de x y por lo tanto siguiendo esta idea lo primero que voy a hacer es calcular el volumen de este disco qué es el ancho es decir de x que multiplica al área de este círculo es decir pi por radio al cuadrado pi por radio pero en este caso el radio es igual a la función y la función es igual a la raíz de x elevada al cuadrado por lo tanto me queda pi que multiplica al radio elevado al cuadrado pero en esta ocasión el radio es igual a la raíz de x y por lo tanto me queda pi que multiplica la raíz de x elevado al cuadrado de x y entonces lo que yo hacía era tomar la suma de todos estos discos que construía alrededor del eje de las x por lo tanto me tomaba yo la integral recuerden que lo que estaba pensando era tomarme la suma de todos estos discos y después el límite haciendo que estos discos fueran muy pero muy delgados y entonces acuérdense que el resultado resumido de toda esta idea se llamaba la integral entonces me tomaba la integral de esta expresión y ahora qué es lo que nos faltan lo que nos faltan son los límites de integración entre que el límite y que el límite de integración me estoy tomando y para esto lo que necesito es encontrar los puntos de intersección entre estas dos curvas es decir en qué momento estas dos curvas son iguales lo que voy a querer es que x sea igual a la raíz de x pero para resolver esta igualdad lo que voy a hacer es pasar la raíz cuadrada del otro lado es decir me queda que x cuadrada es igual a equis y para qué valores se cumple esto bueno si hacemos un poco de memoria hay dos valores para los que se cumple esto mi primer valor es x igual a 0 que bueno ya lo sabíamos en este punto que teníamos aquí en mi segundo valores cuando x vale 1 porque 1 al cuadrado es lo mismo que 1 por lo tanto ya tengo mis dos valores o si lo queremos ver de una manera más formal me quedaría que x cuadrada menos x es igual a 0 o dicho de otra manera lo que tenemos que hacer es resolver una ecuación de segundo grado y para esto lo que voy a hacer es factorizar a una x es decir x que multiplica a x menos 1 tiene que ser igual a 0 y esto tiene dos soluciones o x es igual a 0 o x menos 1 es igual a 0 y entonces se tienen dos soluciones o x es igual a 0 o x es igual a 1 es importante recordar que dos cosas son iguales a cero si una es cero o la otra en cero y por lo tanto ya tengo los límites de integración de 0 a 1 de esta expresión y por la raíz de x elevado al cuadrado el diferencial de x para calcular el volumen del sólido de revolución que me queda al girar la función y es igual a la raíz de x cuando gira alrededor del eje de las equis y bueno ahora viene la sorpresa de este vídeo la sorpresa este vídeo era que el volumen que nosotros queremos es la diferencia de los volúmenes de estos dos sólidos de revolución por lo tanto lo que voy a buscar ahora es el volumen del sólido de revolución que me queda al girar la función 10 igual a x alrededor del eje de las x voy a tomarme un disco adentro de esta función y me voy a tomar su volumen entonces su volumen es pi por la función elevada al cuadrado recuerden que el radio es lo mismo que la función que en este caso la función es y es igual a equis por lo tanto adentro va x todo esto elevado al cuadrado ya esto lo tenemos que multiplicar por el grosor pero el grosor como estamos haciendo la integral también alrededor del eje de las x en este caso también es de x miren aquí estoy dibujando el grosor es claro que tengo una moneda aquí por lo tanto voy a multiplicar por el grosor el cual habíamos dicho que era de x y recuerden que con la integral me estoy tomando la suma y además el límite cuando de x muy pequeño pues ya cuando estas dos integrales tenemos las expresiones de los volúmenes que nosotros queríamos y la diferencia de estos dos volúmenes es el volumen que yo busco es decir el volumen que está entre el trofeo y este cono raro por lo tanto lo primero que voy a hacer es resolver estas dos integrales fíjense que pi puede salir de la integral por lo tanto de la primera integral voy a sacar a pi y me queda pi que multiplica a la integral de 01 de raíz de x elevado al cuadrado es decir x de x menos aquí también voy a sacar a pi que multiplica a la integral de 0 a 1 de x elevado al cuadrado diferencial de x y bueno estas integrales ya son muy fáciles de resolver esto me va a quedar lo voy a poner aquí piqué multiplica a quien necesitó el anti derivada de x que es x cuadrado entre 2 evaluada de 0 a 1 está muy fácil esto menos pi que multiplica la anti derivada de x cuadrada que es x cúbica entre 3 y esto evaluado de 0 a 1 también hasta aquí no hay tanto problema después esto me queda pi que multiplica y en este paso lo que voy a hacer es la evaluación voy a substituir a x por uno y por cero y me queda un medio menos 0 entre 2 y mejor déjenme escribirlo así 1 elevado al cuadrado entre 2 - 0 elevado al cuadrado entre 2 - y aquí tengo pi que multiplica a 1 elevado al cubo entre 3 - 0 elevado al cubo entre 3 y pues prosigamos primero voy a seguir teniendo el pie fuera del paréntesis y me va a quedar esperen mejor déjenme ponerlo con el mismo color y que va a multiplicar y 0 entre 2 se va de una vez lo cancelamos un medio aquí me queda 1 al cuadrado que es 1 entre dos pues es lo mismo que un medio y que multiplica a ti pues es pi medios ya esto le tengo que quitar y lo mismo 0 entre 3 se va y me queda un tercio que multiplica a pi y me quedan tercios y bueno vamos a hacer esto con fracciones el mínimo común múltiplo de estos 2 6 por lo tanto el común denominador va a ser 6 y 16 entre 2 es igual a tres por tres pi entonces me queda 3 y ya esto le voy a quitar 6 entre 3 estos por fin me va a quedar si lo hice bien a ver 6 entre 2 es 3000 multiplica pi 6 entre 32 shift entonces 3 - 2 pies lo mismo que un solo pin me va a quedar sextos y ya con esto encontré la solución del volumen de esta copa extraña que yo estaba buscando y todo esto gracias al famoso método de los discos
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