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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a generalizar lo que vimos en el video pasado primero teníamos dos ejes en el primer eje el eje vertical es el eje las leyes y voy a hacer un eje un poco más horizontal que va a ser el eje de las x y en el video pasado tomamos dos funciones entonces voy a hacer la gráfica de mi primer función está de verde va a ser mi primer función y va a ser algo así no importa pero lo que importa es que tiene de nombre ye es igual a efe de x mientras que por otro lado tomamos otra función está azul que estoy dibujando aquí si la nombramos en forma general la serie es igual a gdx bonito nombre no creen ye igual a gdx y ya con esto tenemos a las dos funciones generalizadas con sus respectivos nombres ya que teníamos las dos funciones la pregunta era cómo encontrábamos el volumen del sólido de revolución que obteníamos de girar esta área en medio de estas dos funciones alrededor del eje de las x es decir esta área que está en medio de estas dos funciones la vamos a girar alrededor del eje de las x y vamos a obtener una figura muy parecida a ésta recuerden que en el video pasado era como un tazón como un trofeo se acuerdan en el cual adentro existía un cono en forma general tenemos un área entre dos funciones que vamos a girar alrededor del eje de las x obteniendo así un sólido de revolución y nos preguntábamos cuál era su volumen la idea que utilizamos en el vídeo anterior era muy parecido al método de los discos pero si ustedes se acuerdan no era un disco como tal era una arandela porque una arandela pues fíjense bien lo que nosotros hacíamos era tomar entre estas dos funciones un pequeño rectángulo que tenga un ancho muy pequeño se acuerdan cuál era el grosor de este rectángulo pues claro era de x lo que queremos es que sea un grosor muy muy muy delgado y bueno la idea que teníamos detrás de todo esto era girar este pequeño rectángulo alrededor del eje de las x y por lo tanto se dan cuenta no me sale un disco como tal me queda una arandela fíjense esta es la parte de adentro voy a dibujarla y esta es la parte de afuera o intentar dibujar la lo mejor que se pueda para que ustedes vean qué efecto de una forma de arandela esta va a ser la parte de afuera la parte exterior es la parte interior y ahora voy a dibujar la cara de estar ante la fíjense bien este de aquí es mi cara de mi de mirandela estoy dibujando bastante bien bien bien y de estamos también un grosor se acuerdan entonces tenemos el grosor de x está que estoy dibujando aquí eso cierto grosor fíjense bien que ya está agarrando un poco de volumen por lo tanto no podemos visualizar como si tuviéramos una moneda en la cual se le quita la parte de en medio es decir una arandela muy bien ya estoy dibujando aquí y creo que no me quedó nada mal imagina sea una moneda que está agujereada por el centro y bueno para sacar el volumen del sólido de revolución lo que queremos primero es el volumen de estarán de la pero antes que el volumen sería muy bueno calcular primero el área es decir el área de la cara que tenemos aquí y que es el área lo primero que vamos a hacer es sacar el área de esta moneda como si no tuviera agujero es decir sacar el área de esta circunstancia con la función superior esto quiere decir que espí por el radio al cuadrado pero el radio es la función exterior y por lo tanto me queda piqué multiplica a efe de x elevada al cuadrado estas el área de toda la moneda ahora a esta moneda le voy a quitar el centro es decir le voy a quitar el área que se forma cuando yo quiero la función inferior alrededor de elegidas x y como es una circunferencia también me va a quedar piqué multiplica al ras del cuadrado pero en este caso el radio es la función inferior por lo tanto queda piqué multiplica a la función inferior que en este caso eran gdx pero como es raúl cuadrado hay que elevarla también al cuadrado es decir pi por el radio que es gdx elevado al cuadrado lo único que estoy haciendo es a candelaria del agujero que tenemos en la moneda por qué crees justo el área que estoy buscando es la diferencia entre estas dos áreas es decir con esto ya saqué el área de la arandela fíjense que ya tengo una función arriba y una función abajo es decir una función superior y una función inferior y haciendo estoy sacando el área de estarán de la isaf actualizó apyme queda que el área es igual a pique multiplica quien bueno por una parte a efe de x elevado cuadrado pero dejan escribir lo mejor de esta manera fx elevado al cuadrado menos gdx elevado al cuadrado y así me ahorro un paréntesis entonces ya tengo por fin de no ponerlo con amarillo para que quede más ordenado todo esto y ya con esa expresión tengo el área de la cara que tenemos de la arandela si yo quiero el volumen hay que multiplicar todo esto por el grosor pero el grosor era de x por lo tanto me queda pi por fx elevado al cuadrado menos gdx elevado al cuadrado y todo esto lo voy a multiplicar por el grosor para sacar el volumen entonces todo esto lo multiplicamos por dx y así obtenga el volumen de una arandela de esta grande la que tengo dibujado aquí pero como nosotros queremos la suma de todas las arandelas que están entre estas dos funciones lo que tengo que hacer es tomarme la suma de todos esos volúmenes y hacer que de x sea muy pequeño es decir tomar el límite cuando dx es muy pequeño para tomar una infinidad de arandelas las cuales van a ser muy delgadas y por lo tanto voy a obtener la integral sin embargo su integral de fini está definida entre que puntos a bueno pues podemos tomar dos puntos arbitrarios aib pueden ser los puntos de la intercepción de estas dos funciones o puede ser que no sean la intercepción estas dos funciones sin embargo para verlo de una manera general voy a decir que la integrales de ave de toda esta expresión que yo tengo aquí es decir el volumen de las grandes olas y recuerdan que tras traigo la suma de todas los volúmenes de todas las arandelas y el límite cuando dx es muy pequeño es decir las arandelas son muy delgadas y bueno para probar esta expresión que acá vamos a encontrar vamos a echar a andar con las mismas funciones que vimos en el video pasado si se acuerdan en el caso pasado gdx era igual a x mientras que fcc x era igual a la raíz cuadrada de x entonces vamos a meterlas en esta nueva fórmula que vamos a encontrar para ver si funciona entonces el volumen es igual a integral y se acuerdan los puntos donde se interceptaban estas dos funciones eran entre 0 y 1 recuerden que podemos tomar cualquier intervalo pero en esta ocasión me voy a tomar el intervalo en donde se interceptaban estas dos funciones que da el intervalo de cero hasta 11 es lo mismo que la raíz cuadrada positiva de 1 por lo tanto estas dos funciones en estos dos puntos son iguales de quién de piqué múltiple kf de x elevado al cuadrado pero la raíz de x elevada al cuadrado pues lo mismo que x - gdx elevado al cuadrado es decir gdx x elevado al cuadrado me queda x cuadrada y todo esto lo voy a multiplicar por dx que es el grosor y bien ahora que ya tengo esto voy a sacar primero a pique es la constante y me queda piqué multiplica el integral de 0-1 de x-men os x cuadrada de x y ahora si buscamos la santé derivadas la deriva de xx cuadra entre dos esto está muy sencillo - la deriva de que es cuadrada que es xq ubica entre 3 le sumamos un exponente y lo dividimos entre este mismo número y está evaluado de 0 a 1 así que vamos a hacer la evaluación me queda que es lo mismo que piqué va a multiplicar dejemos ponerlo a king esto va a ser lo mismo que problemas de espacio pero ya ese espacio esto va a ser lo mismo que piqué multiplica a bueno me queda un elevado al cuadrado entre 2001 que un medio menos un elevado al cubo entre tres que son no que un tercio entonces me queda un medio menos un tercio y después si llevarlo en serio me queda hacer al cuadrado entre dos que 0 - 0 el juego entre tres que cero es decir todo esto evaluado en cero se va no es necesario ponerlo yo solamente me queda un medio menos un tercio y que creen un medio menos un tercio fue justo lo que hicimos en el video pasado esto de aquí es lo mismo que un sexto y por lo tanto obtuvo el mismo resultado es lo mismo que pise estos de unidades de área y que cree no obtuve lo mismo que en el video pasado y es que la razón de que llegamos a lo mismo es que ésta es la fórmula ya generalizada de lo que vimos en el ejemplo anterior lo que logré en este ejercicio fue que este método de las arandelas generaliza el volumen de los sólidos de revolución que hay al girar el área entre dos funciones alrededor del eje de las x así que nos vemos en el siguiente vídeo
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