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Método de los anillos al rotar alrededor de una recta horizontal, no del eje x (parte 1)

Transcripción del video

vamos a resolver en esta ocasión un problema bastante interesante lo primero que quiero que se den cuenta es que tengo dos funciones aquí la función y es igual a equis y esta función es igual a x cuadrado a menudo se x cuya gráfica es esto de amarillo ahora lo que voy a querer es girar en la región que está entre estas dos funciones alrededor de la recta de igual a 4 y por lo tanto me va a quedar un sólido de revolución el cual ya dibujé aquí en adelante un poco en la gráfica para no perder tanto tiempo en hacerla mientras hacemos el vídeo pero mira es justo como una vasija si te das cuenta una vasija cuya base está aquí abajo y después tenemos su boca al final de este sólido de revolución ahora la pregunta este vídeo es cómo encuentro el volumen de esta vasija que yo tengo aquí y adivinen qué método voy a utilizar pues claro voy a utilizar el método de las arandelas sin embargo en esta ocasión no voy a girar alrededor del eje de las x voy a girar alrededor de la recta y es igual a 4 por lo tanto voy a dibujar aquí mi rectángulo y este rectángulo tiene recuerden de ancho de x es justo este grosor una de las cosas más importantes de este método así que para que no la pierdan de vista la voy a dibujar aquí en esta gráfica que tengo a la derecha por lo tanto este va a ser mi agujero o mío yo de mi moneda que tengo en la arandela y después tengo una cara exterior es esta que voy a dibujar aquí ahí va fíjense y ahora tengo que bajar y no me está quedando nada mal perfecto y ya con esto bueno lo primero que quiero dibujar les es el grosor porque la arandela tiene un cierto grosor de grosor de x por lo tanto vamos a darle un poco de volumen a nuestra arandela recuerden que era como una moneda con un hueco en el centro con un agujero en el centro y ya que tiene aquí un cierto grosor ahora lo que voy a hacer es colorear un poco la cara de enfrente porque porque recuerden que el problema consiste en sacar el área de esta cara que estoy sacando aquí por lo tanto déjenme colorear la de verde ya la tenemos coloreada y ahora con esto mi pregunta va a ser como encuentro el área de esta cara de mirandela pero hasta acá los escucho su pregunta es porque el área si lo que tenemos que encontrar es el volumen bueno porque si nosotros acá el área de esta cara o de esta base de la arandela después multiplicamos por el grosor que es de x y ya encontramos el volumen por lo tanto la pregunta fuerte acerca de este problema es cómo encontramos el área de esto que tenemos coloreado por lo tanto vamos a buscarla el área de esta cara de mirandela como la encontramos bueno primero darse cuenta que lo que tengo que hacer es sacar el área de la moneda completa es decir el área que tengo de mi circunferencia exterior y esto es por el radio al cuadrado pero la pregunta es que radio a bueno por ahorita vamos a ponerlo como el radio exterior elevado al cuadrado que es este de aquí ya esto recuerden que le tenemos que quitar el agujero de mi moneda es decir la circunferencia que tengo adentro y para encontrar su área hay que multiplicar pi por el radio pero en este caso el radio interior elevado al cuadrado muy bien entonces esto es mi menú o este es mi plan que voy a seguir y mi idea es que en este vídeo veamos cómo encontrar esta área para que en el siguiente vídeo resolvamos esta integral así que fijémonos primero en el radar exterior como encontramos el radio exterior bueno pues el radio exterior es la distancia que yo tengo pintada de verde y como la encontramos pues desde la recta de igual a 4 hasta la función de igual a x cuadrada menos 2x es decir hasta la función que exterior que tenemos hasta acá entonces para encontrar la distancia entre estas dos curvas que tengo que hacer tengo que hacer la diferencia de dos funciones de qué funciones pues de la función ye igual a 4 es decir de la recta menos la función que yo tengo es decir la función exterior por lo tanto mi radio exterior va a ser igual a la recta que es igual a 4 - la función exterior - x cuadrada más 2x esto porque ya lo multiplique por menos ahora fijémonos del radio interior el radio interior tiene o cumple lo mismo es la distancia de la recta a la función llegó a la equis y por lo tanto esta distancia la sacó como la diferencia de la recta igual a 4 - la función que iguala x es decir 4 menos x está genial todo esto no de lujo porque ya con esto tengo el radio exterior que es 4 - x cuadrada + 2x y por lo tanto lo puedo poner en el fórmula del área y primero voy a factorizar api para que solamente ponga un pie en lugar de 2 ahora dice que ponga el radio exterior elevado al cuadrado que es 4 - x cuadrada + 2x todo esto va a quedar elevado al cuadrado y si sigo sustituyendo en el fórmula el área entonces tengo que restarle el radio interior elevado al cuadrado pero el radio interior era 4 menos x y todo esto elevado al cuadrado perfecto ya con esto tengo la fórmula para encontrar mi área de mi arandela de la cara de mi arandela y ojo ya tengo factor izado api y bueno si esto lo multiplicó por de x entonces obtengo el volumen y recuerden que lo que nosotros hacíamos era tomar la suma de todas estas arandelas en el intervalo que nosotros queremos y después tomarme el límite cuando de x era muy pero muy pequeño y por lo tanto me tomaba el integral ahora lo que hay que fijarnos también es en qué intervalo quiero esta integral y si te das cuenta en lo que nos estamos fijando ese lente de estas dos funciones es decir lo que yo quiero es ver en qué momento la función de igual a x es igual a la función x cuadrada menos 2x por lo tanto vamos a ponerlo como una igualdad para poder resolverlo la primera función x tiene que ser igual a la segunda función que es x cuadrada menos 2x para sacar los puntos de intersección fíjate que los puntos de intersección son los puntos donde estas dos funciones son iguales y bueno ahora lo que voy a hacer es pasar esta x del otro lado y me queda que menos x menos x y entonces aquí me queda 0 es igual a x cuadrada menos 3x y resolver esta igualdad es muy sencilla esto tiene dos soluciones las cuales una forma para encontrarlas es factorizar una x es decir x que multiplica a x menos 3 y si dos cosas multiplicadas son cero entonces o la primera es cero o la segunda es cero es decir o x es igual a cero o x menos 3 es igual a cero y por lo tanto mi otra solución es x igual a 3 y ya tengo mis dos puntos de intersección cuando x es 0 y cuando x straits y por lo tanto ya tengo mis límites de integración de esta integral y ya con esto tenemos la expresión del volumen de la básica que va encontrar en el siguiente vídeo
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