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Método de los anillos al rotar alrededor de una recta vertical, no del eje y (parte 1)

Transcripción del video

en este vídeo vamos a jugar con la región que tenemos entre estas dos funciones entre la función que es igual la raíz cuadrada x y la función que es igual a x cuadrada y la vamos a cuidar pero en esta ocasión no alrededor del eje de las 10 en esta ocasión vamos a girar alrededor de una recta vertical la recta x igualados y bueno si ustedes hacen el sólido de revolución que les queda alzira esta región alrededor de esta recta les va a quedar esta figura que yo tengo aquí esta figura que tiene esta cierta forma extraña y es una figura que tiene un hoyo en el centro un hoyo que se forma por la función y es igual x cuadrada y entonces parece ser como una pared y bueno para sacar el volumen de esta pared voy a utilizar el método de las arandelas otra vez que al final es utilizar el método de los discos pero como un método de los discos con anillos por eso también es conocido como el método de los anillos y bueno como lo que queremos es girar alrededor de esta línea vertical entonces lo que vamos a querer es tener un buen de arandelas y sin embargo estas grandes van a tener que tener una función de ye porque lo que vamos a querer hacer es sumar estas arandelas e integrar con respecto a gem si tenemos estas arandelas por lo tanto éste que voy a dibujar aquí es radio interno que por cierto si se encuentra está definido por la función y es igual es cuadrada y también tenemos un radio exterior que va a ser este de aquí que por cierto está definido por la función y es igual a la raíz cuadrada de x y se los juro que estoy intentando sea el mejor dibujo más razonablemente posible y después tenemos un cierto grosor de este anillo recuerden que el grosor es muy importante el cual es un pequeño muy pequeño de ye así que déjenme darle volumen y por lo tanto dibuja el grosor y ya ha acabado con esto ya tenemos aquí a mirandela y bueno está grande la que les acabo de dibujar es justo en la grande la que sales y yo roto alrededor de esta recta x igualados este rectángulo que les voy a dibujar aquí este rectángulo tiene como altura de jem y lo estamos girando alrededor de la recta vertical x igualados con esto es que obtenemos años grande la y bueno ya que tenemos ahora a nuestra grandeza lo que voy a construir es una arandela para cada uno de los valores de que en este intervalo y por lo tanto puedes imaginarte a un montón de arandelas y el volumen de este sólido de revolución va a ser la suma de todos los volúmenes de todas estas arandelas recuerdan que tomábamos el límite diciendo que day era muy pequeño y por lo tanto teníamos una infinidad de arandelas eso dicho en otras palabras quiere decir que de yes infinitesimalmente pequeño pero bueno antes emocionarnos con todo esto lo primero que tenemos que hacer es sacar el volumen de una de las arandelas y para sacar el volumen de una de esas arandelas lo que voy a necesitar es que el volumen sea una función de yeah para empezar lo que voy a hacer es escribir estas dos funciones como funciones de jean en la función demorado me queda kay es igual la raíz cuadrada de x y yo paso la raíz cuadrada del otro lado entonces me va a quedar que x o la función de lleva a ser igual la aie cuadrada esa es nuestra función exterior la función que tenemos en la pared exterior y ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa con la función interior es decir con la función de amarillo yes iguala x cuadrada y si yo saco raíz de ambos lados entonces no va a quedar que por cierto está sacando la raíz principal y eso es muy cierto porque esta función vive en nuestro primer cuadrante y entonces ahora sí si yo saco la raíz principal de ambos lados me queda que x es igual a la raíz cuadrada de gem bueno ahora la pregunta es ya que tengo el grosor de ye de este mes estarán de la cual es el área de estarán de la vamos a tomar el color anaranjado y entonces el área que es una función de lleva a ser igual a quién pues claro ya lo hemos visto va a ser el área del círculo que estamos considerando en la función exterior ya ésta le vamos a quitar el área del círculo de la función interior es decir le vamos a quitar el agujero de en medio así que el círculo exterior quienes pues spirit por radio el cuadrado y por el radio exterior elevado al cuadrado y a esto le tenemos que quitar el área de la circunferencia interior déjenme volver a escribirlo de esta siguiente manera piqué multiplica al radio exterior elevado al cuadrado menos piqué multiplica al radio interior elevado al cuadrado y queremos que esta sea una función que solamente dependa de gem entonces empecemos a ver al radio exterior pero el radio exterior tienen que ser una función de jem y fíjense bien el rayo exteriores toda esta distancia que tenemos aquí toda la distancia que hay de la función exterior hasta la recta vertical x igualados es decir toda la distancia que hay desde la recta x igualados hasta llegar a la función exterior que era ye igual a x cuadrada hoy ha visto como una función de gem x igual la llegada y si lo queremos ver en términos de x sería todos - cualquier valor que x valga aquí sin embargo como no queremos ver todo en términos de yes que al final es lo mismo entonces va a ser 2 - la función de ye que la función de ella es igual hay encuadrada por lo tanto que me va a quedar por lo tanto al escribirlo aquí me queda 2 - la función de ye exterior que es cuadrada 2 - de cuadrada perdón perdón 2 - ya cuadrada 2 - ya cuadrada y ahora es hora de fijarnos en el radio interior el radio interior va a ser igual a quién y haciendo una analogía va a ser exactamente lo mismo es la distancia de la recta x igualados hasta la función exterior es decir la función fbi e iguala la raíz cuadrada de yeah si lo vemos solamente en términos pensado en valores de x base del valor de x igualados que es el que toma la recta - cualquier valor que tome x en la función fbi e igual a raíz de jean y por lo tanto ya puedo escribir yo me reí interior como 2 - la función interior de ye que es la raíz cuadrada de yeah ahora sí ahora sí ya que tenemos el radio interior y el exterior pues lo que vamos a hacer es sustituir todo en la fórmula del área entonces ese factor y yo a piqué me va a quedar piqué multiplica a el radio exterior elevado al cuadrado por radio exteriores 2 - de cuadrada y todo esto elevado al cuadrado - sí que va a multiplicar a quien a buen dicen a la función interior elevada al cuadrado por la función interiores 2 - la raíz de ye elevado al cuadrado y bueno esta base entonces mi fórmula del área ya está todo en términos de gem si yo lo que quiero sacar es el volumen de esta gran de la entonces lo que multiplica del área por el grosor pero sólo habíamos dicho que era de ye entonces este grosor este pequeño y delgado y diminuto grosores de gem entonces para sacar el volumen de estarán de la hay que multiplicar todo esto por de jem y después lo que vamos a tomarnos la suma de todas estas arandelas por lo tanto se escribe como la integral de dónde a dónde hay que fijarnos en los límites de integración y como es una función de hielo que fijarnos es el límite de integración que tengan que ver con valores day y por lo tanto son dos puntos que puntos este punto que tenemos aquí que es el origen y el otro punto que tenemos aquí arriba vamos a sacarlos y para esto tenemos que igualar las dos funciones es decir en qué momento la raíz de yeyé cuadradas lo mismo y si hacemos un poco de memoria es en cero y en 1 y entonces estos dos valores de yeso mis límites de integración por lo tanto ya tengo que la integral de 0 a 1 de todo esto que tengo aquí diferencial de gem es el volumen de quién va a ser el volumen de mishollo de revolución que estoy buscando el volumen de esta forma rada por ahorita los dejo aquí pero en el siguiente vídeo vamos a resolver esta integral
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