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Transcripción del video

aquí tenemos la gráfica de la función de igual a x elevada a la tres medios y lo que quiero hacer es obtener la longitud de arco desde que x es igual a cero hasta que x es igual a voy a tomar un número raro pues en ocasiones los números raros nos funcionan muy bien entonces voy a tomar la longitud de arco desde que x es igual a cero hasta que x es igual a 32 novenos 32 novenos vamos a ubicar 32 novenos 32 novenos equivale a tres enteros cinco novenos tres enteros y un poquito más que la mitad más o menos por aquí estaría 32 novenos entonces lo que queremos calcular es esta longitud de arco esta longitud que estoy poniendo en amarillo desde que x es igual a cero hasta que quise es igual a 32 novenos te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacerlo por tu cuenta supongo que ya lo intentaste y si en cualquier momento te sientes inspirado como para concluir el problema ponle pausa y concluye lo por tu cuenta así es vamos a aplicar la fórmula de longitud de arco que desarrollamos de manera conceptual sin el rigor matemático usual en el vídeo anterior así es que sabemos que la longitud de arco la longitud de arco es igual a la integral definida desde que x es igual a cero hasta que x es igual a 32 novenos no pensándolo bien voy a poner la fórmula general para que puedas ver cómo la aplicamos a nuestro ejemplo entonces es la integral desde hasta ve de la raíz cuadrada de 1 más efe prima de x elevada al cuadrado de x en nuestro caso es igual a la integral desde que x es igual a cero hasta que x es igual a 32 novenos de la raíz cuadrada de 1 más la derivada de f cuál es la derivada de fcf de x es igual a x a la tres medios f prima de x es igual a tres medios elevada a la un medio y esta función la hemos escogido a propósito así pues cuando la sustituimos aquí dentro del radical la expresión se simplifica de tal manera que la anti derivada se obtiene fácilmente así es que hemos hecho mucha ingeniería en este problema para que los números nos funcionen perfectamente entonces efe prima de x elevada al cuadrado efe prima de x elevada al cuadrado es igual a 9 cuartos de x así es que aquí es uno más nueve cuartos de x de x ya tenemos entonces la integral definida y ya sabemos cómo encontrar la anti derivada de esto podrías hacerla mentalmente básicamente haciendo la sustitución no tienes 19 cuartos de x la derivada es 9 cuartos y así manipular el integrando de manera adecuada pero aquí vamos a desarrollar el proceso de sustitución así es que haciendo la sustitución tenemos que y es igual a 1 + 9 cuartos de x con lo cual deben de x la derivada de v con respecto a x de wen de x es igual a nueve cuartos o lo que es lo mismo dv es igual a nueve cuartos de equis o despejando de equis despejando de equis aquí multiplicó por cuatro novenos ambos lados para obtener que de x es igual a cuatro novenos dv cuatro novenos dv veamos ahora los límites de integración cuando x es igual a cero cuando x es igual a cero es igual a uno más nueve cuartos por 0 10 es igual a 1 y ahora cuando x es igual a 32 novenos cuando x es igual a 32 novenos veamos por qué escogimos ese valor es igual a 1 más 9 cuartos por 32 novenos esto es 132 cuartos 18 es igual a 9 estupendo como ves así es que esto es igual a la integral definida de hecho deja de poner claramente que esto es igual a esto la integral definida desde que y es igual a 1 hasta que es igual a 9 y aquí he puesto claramente que ahora nuestra variable integraciones de la raíz cuadrada de eeuu y en vez de x tenemos nueve cuartos de déu deja de poner lo mejor de otra manera entonces la raíz cuadrada hauts-de-seine es el color adecuado la raíz cuadrada dv y en vez de de equis tenemos cuatro novenos dv voy a sacar cuatro novenos fuera del integral cuatro novenos dv y aquí por supuesto ya sabemos aplicar el teorema fundamental del cálculo el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver esta integral definida esto es igual a cuatro novenos que multiplica a la anti derivada de la raíz cuadrada de eeuu que es lo mismo que a la un medio la anti derivada de un medio es igual a elevada tres medios entre tres medios que podemos poner como dos tercios y esto evaluado entre o igual a nueve y un igual a uno y aquí ya estamos en la recta final esto es igual a cuatro novenos que multiplica a ver vamos a evaluar esto de aquí dos tercios por nueve elevado a la tres medios menos dos tercios que multiplica a uno elevado a la tres medios y aquí tenemos que nueve a la tres medios es la raíz cuadrada de nueve estrés elevado al cubo tres al cubo es 27 y esto por supuesto es 1 y esto nos queda como dos tercios que multiplica a de hecho mejor vamos a factorizar dos tercios para facilitar las cosas así es que esto nos va a quedar como dos tercios por cuatro novenos es igual a 8 sobre 27 únicamente factor izado el dos tercios y aquí nos queda 27 menos uno digamos dentro de los corchetes nos queda 27 menos uno que es igual a 26 esto nos queda 8 sobre 27 por 26 y por supuesto este resultado lo podemos simplificar más calcular cuánto es 8 por 26 sobre 27 de hecho vamos a hacer esto simplemente para divertirnos esto es igual entonces veamos 8 por 20 168 por 6 48 160 más 48 208 sobre 27 y así y así hemos concluido
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