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Transcripción del video

hemos usado las integrales definidas para encontrar áreas lo que quiero hacer ahora es ver si podemos usar la integral definida para calcular la longitud de arco y qué quiere decir eso bien si iniciamos en este punto sobre la gráfica de una función y terminamos en este punto no sobre una línea recta ya sabemos calcular distancias sobre una línea recta más bien sobre la trayectoria de la gráfica de la función esta es la longitud que queremos calcular queremos calcular la longitud de ese arco así es que esta es la longitud de arco en este caso va a ser desde que x es igual a a hasta que x es igual a la longitud a lo largo de esa curva y cómo hacemos esto una de las cosas que hemos aprendido con el cálculo integral es que cuando tenemos algo que está cambiando como esto siempre podemos dividirlo en partes infinitamente pequeñas que podemos aproximar con segmentos de rectas o con rectángulos para luego tomar la suma infinita de esas infinitamente pequeñas partes déjame entonces dividir todas longitud de arco en infinitamente pequeños tramos que podríamos llamar secciones de arco y estas secciones de arco al ser infinitamente pequeñas las voy a llamar de s de s obviamente los estoy dibujando mucho más grandes de lo que son para que tengamos una idea clara del concepto de diferencial de arco y para qué dividimos la longitud de arco en estas secciones diferenciales bien ese de ahí es un de ese y si aquí tenemos con este otro color otro de ese y por acá tenemos otro infinitamente pequeño cambio en la longitud de arco si sumamos si tomamos la suma infinita de todos estos veces vamos a obtener la longitud de arco así es que la longitud de arco es igual a la integral de d s estoy sumando todos esos veces a lo largo de la longitud de arco lo cual denota mos de esta manera pero esto así como está no nos sirve pues está en términos de de ese y nosotros hemos trabajado con de equis y de que veamos si podemos expresar esto en términos de d y deje de nueva cuenta si esta sección es infinitamente pequeña podemos suponer que es un segmento de recta de la misma manera como pudimos aproximar áreas con rectángulos tomamos infinitamente pequeños rectángulos que al hacer su suma infinita nos daba el valor del área aunque la región original no fuera rectangular aquí estamos haciendo lo mismo tomando estas aproximaciones con rectas infinitamente pequeñas pero al tomar la suma infinita van a proporcionarnos la longitud de arco así es que si suponemos que este es un segmento de recta voy a tratar de expresar lo en términos de de x y entonces esta distancia de aquí es de x es un cambio infinitamente pequeño en x mientras que esta distancia de aquí es de g es importante aclarar que no estamos dándole un tratamiento riguroso a los diferenciales simplemente queremos entender cuáles son los conceptos que hay detrás de la fórmula de longitud de arco aquí podemos ver entonces qué de ese basándonos en el teorema de pitágoras se puede expresar en términos de de x al cuadrado y al cuadrado es decir de s es igual a la raíz cuadrada de de x al cuadrado más de g al cuadrado así es que esta integral la podemos reescribir como la integral en vez de escribir de ese vamos a escribir la raíz cuadrada de de equis elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado más del elevado al cuadrado de nueva cuenta esto sale directamente de aplicar el teorema de pitágoras y esto empieza a ponerse interesante ya lo escribí en términos de xy de ye pero están elevados al cuadrado dentro de una raíz cuadrada que pueda hacer para simplificar esto de tal manera que podamos integrarlo bien puedo factorizar de x al cuadrado vamos a escribir esto entonces como esto es igual a la integral de la raíz cuadrada de x elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado que multiplica a uno más de iu sobre de x elevado al cuadrado esto lo mismo que tenemos arriba si distribuimos de x elevado al cuadrado aquí obtenemos exactamente esto y ahora podemos sacar de x al cuadrado del radical así es que esto es igual a la integral de la raíz deja de mantener el mismo color para el radical la integral de la raíz cuadrada de 1 más vélez en de x que ya sabemos que es la derivada de la función de jane de x elevada al cuadrado y si sacamos de x al cuadrado del radical la raíz cuadrada de x al cuadrado es de x simplemente es de x simplemente es de x esto es interesante pues sabemos cómo calcular esto entre dos límites podemos tomar la integral definida entre aire pues ahora estamos integrando un número infinito de de equis estamos ahora integrando con respecto a x para todos los valores entre x iguala y x igual a b tomemos la suma de los productos de esta expresión por de x y está básicamente es la fórmula para la longitud de arco es la fórmula para calcular la longitud de arco y aunque parece complicada en el próximo vídeo veremos que es fácil de aplicar aunque la matemática puede ponerse un poco peliaguda esta fórmula también la podemos escribir con otra anotación esto lo puedo escribir también como la integral desde hasta ve desde que x es igual a hasta que x es igual a de de la raíz cuadrada de 1 más en vez de de jane de x ponemos f prima de x efe prima de x elevado al cuadrado de x así es que si conocemos la función conocemos fx calculamos la derivada de esa función f prima de x la elevamos al cuadrado le sumamos 1 sacamos la raíz cuadrada de eso y entendemos con respecto a x desde que x igual a hasta que x igual a b haremos eso en el próximo vídeo
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