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Transcripción del video

hemos usado las integrales definidas para encontrar áreas lo que quiero hacer ahora es ver si podemos usarla integral definida para calcular la longitud de arco y qué quiere decir eso bien si iniciamos en este punto sobre la gráfica una función y terminamos en este punto no sobre una línea recta ya sabemos calcular distancias sobre una línea recta más bien sobre la trayectoria de la gráfica y la función estelar longitud que queremos calcular queremos calcular la longitud de ese arco así es que ésta es la longitud de arco en este caso va a ser desde que x es igual a hasta que x es igual a b la longitud a lo largo de esa curva y cómo hacemos esto una de las cosas que hemos aprendido con el cálculo integral es que cuando tenemos algo que está cambiando como esto siempre podemos dividirlo en parte es infinitamente pequeñas que podemos aproximar con segmentos de rectas o con rectángulos para luego tomar la suma infinita de esas infinitamente pequeñas partes déjame entonces dividir toda esta longitud de arco en infinitamente pequeños tramos que podríamos llamar secciones de arco y estas secciones de arco al ser infinitamente pequeñas las voy a llamar d s d s obviamente los estoy dibujando mucho más grandes de lo que son para que tengamos una idea clara del concepto de diferencial de arco y para que dividimos la longitud de arco en estas secciones diferenciales bien ese día y es un ds y sé que tenemos con este otro color otro de ese y por acá tenemos otro infinitamente pequeño cambio en la longitud de arco si sumamos si tomamos las una infinita de todos estos de heces vamos a obtener la longitud de arco así es que la longitud de arco es igual a la integral de ds estoy sumando todos esos de heces a lo largo de la longitud de arco lo cual denota moss de esta manera pero esto así como está no nos sirve pues está en términos de ds y nosotros hemos trabajado con dx y de que veamos si podemos expresar esto en términos de dx ideye de nuevo cuenta si esta sección es infinitamente pequeña podemos suponer que es un segmento de recta de la misma manera como pudimos aproximar áreas con rectángulos tomamos infinitamente pequeños rectángulos que al hacer su infinita nos daba el valor del área aunque la región original no fuera rectangular aquí estamos haciendo lo mismo tomando estas aproximaciones con rectas infinitamente pequeñas pero al tomar la suma infinita van a proporcionarnos la longitud de arco así es que si suponemos que este es un segmento de recta voy a tratar de expresar lo en términos de dx ideye entonces esta distancia de aquí es dx es un cambio infinitamente pequeño en x mientras que esta distancia de aquí es de yeah es importante aclarar que no estamos dándole un tratamiento riguroso a los diferenciales simplemente queremos entender cuáles son los conceptos que hay detrás de la fórmula de longitud de arco aquí podemos ver entonces qué de s basándonos en el tío de pitágoras se puede expresar en términos de dx al cuadrado y deia al cuadrado es decir de ese es igual a la raíz cuadrada de dx al cuadrado más deie al cuadrado así es que está integrada la podemos describir como la integral de en vez de escribir de s vamos a escribir la raíz cuadrada de dx elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado más de ye elevado al cuadrado de nueva cuenta esto sale directamente de aplicar el teorema de pitágoras y esto empieza a ponerse interesante ya los clientes y nos debe x ideye pero están elevados al cuadrado dentro de una raíz cuadrada qué puedo hacer para simplificar esto de tal manera que podamos integrar yo bien puedo factorizar dx al cuadrado vamos a escribir esto entonces como esto es igual a la integral de la raíz cuadrada de dx elevado al cuadrado de x elevado al cuadrado que multiplica a uno más de ye sobre de x elevado al cuadrado éste lo mismo que tenemos arriba y distribuimos de x elevada al cuadrado aquí y obtenemos exactamente esto y ahora podemos sacar de x al cuadrado del radical así es que esto es igual a la integral de la raíz deja de mantener el mismo color para el radical la integral de la raíz cuadrada de uno más de jane dx que ya sabemos que es la derivada de la función de jane the x elevada al cuadrado y si sacamos de x al cuadrado del radical la raíz cuadrada de dx al cuadrado es de x simplemente es de x simplemente es de x esto es interesante pues sabemos cómo calcular esto entre dos límites podemos tomar integral definida entre a y b pues ahora estamos integrando un número infinito de dx estamos ahora integrando con respecto a x para todos los valores entre x iguala y x igual ave tomemos la suma de los productos de esta expresión por dx y está básicamente es la fórmula para la longitud de arco es la fórmula para calcular la longitud de arco y aunque parece complicada en el próximo video veremos que es fácil de aplicar aunque la matemática puede ponerse un poco peliaguda esta fórmula también la podemos escribir con otra anotación esto lo puedo escribir también como la integral desde a hasta bbb desde que x es igual a hasta que kiss es igual a de de la raíz cuadrada de uno más en vez de degen dx ponemos efe prima de x f prima de x elevado al cuadrado de x así es que si conocemos la función conocemos fx calculamos la deriva de esa función efe prima de x la elevamos al cuadrado le sumamos 1 sacamos la raíz cuadrada de eso integramos con respecto a x de que kiss iguala hasta que x igual ave haremos eso en el próximo video
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