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Contenido principal

Introducción a volumen con secciones transversales: cuadrados y rectángulos (no gráfica)

Expresar el volumen de una figura en 3D como un integral definida (en la que el área de las secciones transversales son funciones de x). El problema no incluye una gráfica, pero ¡eso no significa que no deberíamos esbozarla!

Transcripción del video

la base de un sólido es la región entre las gráficas de igual a menos equis cuadrada más 6 x 1 y que igual a 4 las secciones transversales del sólido perpendicular al eje x son rectángulos cuya altura es x expresa el volumen del sólido con una integral definida pausa el vídeo e intenta encontrar la respuesta muy bien lo interesante aquí es que nos dan las ecuaciones de las gráficas pero no las hemos visualizado aún y necesitamos visualizar las a mí me gustaría verlas para poder pensar en la región que nos mencionan bueno lo primero que debemos preguntarnos es en donde se intersectan estas curvas es decir cuando tenemos el mismo valor para ella u otra forma de pensarlo es cuando esta parte es igual a 4 si las hacemos iguales tendré que menos x cuadrada más 6 x menos 1 es igual a 4 esto nos dará los valores x donde se intersectan resolvemos para x restamos 4 de ambos lados y nos queda que menos x cuadrada más 6 x 5 es igual a cero podemos multiplicar ambos lados por menos 1 y vamos a obtener que x cuadrada menos 6 x más 5 es igual a cero y esto es muy sencillo de factorizar menos 1 x menos 55 positivo y menos 1 más menos 5 es menos 6 y entonces esto será x menos 1 que multiplica a x menos 5 igual a 0 y por lo tanto está se intersectan cuando x es igual a 1 o cuando x es igual a 5 ahora bien como tenemos un signo negativo en el término cuadrática sabemos que se trata de una parábola que abre hacia abajo y sabemos que te sacamos a la recta igual a 4 cuando x es igual a 1 y cuando x es igual a 5 así que el vértice debe de estar entre estas dos intersecciones por lo tanto el vértice está en x igual a 3 déjame dibujarlo un poco se va a ver algo lo vamos a hacer en perspectiva porque estamos pensando en un objeto en tres dimensiones este será nuestro eje que esté acá será nuestro eje x y pondré algunos valores para y 1 2 3 4 5 6 7 8 tal vez con estos son suficientes ahora igual a 4 es una recta que se ve así esta es igual a 4 y luego tenemos aquí igual a menos ex cuadrada 6 x menos 1 que sabemos que intersecta igual a 4 en x igual a 1 y x igual a 5 entonces veamos x igual a 1 2 3 4 5 en x igual a 1 tenemos este punto de acá arriba 14 y tenemos el punto 54 y sabemos que el vértice está en x igual a 3 es más podemos sustituir a 3 aquí para saber el valor de y resulta que es igual a menos 93 al cuadrado más 18 menos 1 lo cual me da el valor de y igual a por lo que el punto 3.8 será nuestro vértice y estamos trabajando con la situación de algo que se ve como esto esta es la región en cuestión esta será la base de nuestro sólido y después dice las secciones transversales del sólido perpendicular al eje x déjame dibujar una de estas secciones transversales esta es una sección transversal perpendicular al eje x y dice son rectángulos cuya altura es x entonces aquí hay una altura de x ahora cuál es el ancho de este rectángulo bueno es la diferencia entre estas dos funciones es esta función que queda por arriba menos la función que queda por debajo es decir es esta parte menos sé que es cuadrada más 6 x menos 1 ya esto le quitamos menos 4 y se simplifica en menos x cuadrada más 6 x menos 5 si quieres el volumen de esta pequeña sección de aquí tenemos que multiplicar a x por esto que acabamos de obtener por este ancho infinitesimalmente pequeño es decir de equis y después hacemos la integral desde x igual a uno hasta x igual a 5 déjame escribirlo primero el volumen de esta pequeña rebanada de aquí será la base que es menos x cuadrada más 6 x menos 5 por la altura que es x por el ancho que es de x y después queremos sumar todas ellas por ejemplo puedes ver aquí a otra donde la altura es más grande ya que x tiene un valor mayor aquí y se va a ver algo así ya tenemos dos secciones transversales para que tengas una idea esto puede ser cualquier sección transversal para una equis dada pero si queremos sumar todas ellas entonces hacemos la integral desde x igual a uno hasta x igual a 5 y ya está logramos expresar el volumen de este sólido como una integral definida ahora vale la pena señalar que esta integral definida se distribuye es la x multiplicando a cada uno de estos términos se resuelve fácilmente sin calculadora simplemente tendrás un polinomio por aquí al cual deberás calcular su anti derivada y después usar los límites de integración para evaluar la integral definida eso es todo por este vídeo hasta luego