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Contenido principal

Volumen con secciones transversales perpendiculares al eje y

Ejemplo resuelto de expresar el volumen de una figura basada en secciones transversales perpendiculares al eje y como un integral definida (integrar con respecto a y).

Transcripción del video

o sea era la región comprendida por cuatro por la raíz cuadrada de 9 x y los ejes en el primer cuadrante podemos ver que la región r está en gris justo aquí la región r es la base de un sólido para cada valor de la sección transversal del sólido tomada perpendicular al eje y es un rectángulo cuya base se encuentra en r y cuya altura es expresa el volumen del sólido con una integral definida pausa en el vídeo y traten de resolverlo muy bien hagámoslo juntos en primer lugar tratemos de visualizar el sólido y trataré de hacerlo dibujando en perspectiva así que este es nuestro eje y y justo aquí tenemos nuestro eje x y puedo dibujar la región r que es algo así ahora imaginemos una sección transversal de nuestro sólido entonces dice la sección transversal del sólido tomada perpendicular al eje y así que vamos a elegir un valor de aquí vamos a ir perpendicular al eje y y dice cuya base se encuentra en r así que la base se vería así en realidad este sería el valor de x que corresponde a este valor particular de y de modo que escribiré x justo aquí y luego la altura es la altura va a ser igual a lo que sea nuestro valor de y luego si quisiéramos calcular el volumen de una porción que tiene una profundidad infinitesimal podríamos pensar en esa profundidad infinitesimal en términos de i por lo que podríamos decir que la profundidad justo aquí es de g podríamos dibujar otras secciones transversales por ejemplo justo aquí nuestro valor de ye es mucho menor nuestra altura podría verse así pero luego nuestra base es el valor correspondiente de x que queda justo en la curva el par xy que queda en la curva entonces esta sección transversal se vería como algo así y una vez más si queremos calcular el volumen podríamos decir que es un volumen infinitesimal y tendría una profundidad de que como hemos aprendido muchas veces en integración lo que queremos hacer es pensar en el volumen de una de estas rebanadas supongo que podemos decir así y luego integrar todas ellas ahora hay un par de maneras de hacerlo podrías intentar integrar con respecto a x o podrías integrar con respecto a y voy a decir que es mucho más fácil integrar aquí con respecto a iu porque ya tenemos algo en términos de de y el volumen de esta pequeña rebanada será que por x por d y así que si queremos integrar con respecto a ella queremos tener todo en términos de i expresamos x en términos de y de modo que aquí tenemos que resolver para x una manera de hacerlo déjeme ver es dividir ambos lados entre 4 y obtiene 7 sobre 4 es igual a raíz cuadrada de 9 - x ahora podemos elevar al cuadrado los dos lados que cuadrada sobre 16 es igual a 9 x y luego podríamos multiplicar los dos lados por menos uno menos ya cuadrada sobre 16 es igual a x menos nueve podríamos sumar nueve a los dos lados por lo que obtenemos nueve menos de cuadradas sobre 16 es igual a equis y podríamos sustituir esto justo aquí otra manera de expresar el volumen de esta pequeña rebanada de profundidad infinitesimal que tenemos aquí profundidad de que va a ser igual ayer por 9 - y cuadradas sobre 16 por d ye y si queremos encontrar el volumen de la figura entera se ve así sólo tenemos que integrar desde 0 hasta 12 integrar desde cero hasta igual a 12 es todo lo que nos piden hacer expresar el volumen como una integral definida y en realidad es una integral definida que puedes resolver sin calculadora si multiplicas estos dos términos porque bueno vas a obtener un polinomio en términos de iu y sabemos cómo tomar la anti derivada de eso y luego evaluar una integral definida hasta el próximo vídeo