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Transcripción del video

veamos si nos podemos imaginar una figura en tres dimensiones cuya base es esta región sombreada que tenemos aquí entre las gráficas day igual a fx y llegó a la gtx así es que ésta es la base de la figura esta región que sombreado aquí con este color parece púrpura y la figura como que se sale de la pantalla aquí esta línea que dibujado aquí en azul representa el borde superior de la figura y si tomamos secciones transversales de la figura como podría ser ésta que tenemos aquí en amarillo son secciones transversales a la figura que son perpendiculares al eje x esas secciones transversales van a tener forma de triángulos rectángulos que son y sociales así es que si nosotros extraemos una de estas secciones y la vemos de lado esta sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo que además es y sociales como éste que tenemos aquí entonces es tipo t en usa del triángulo la vamos a ubicar directamente sobre la base de la figura este es un triángulo isósceles estos dos lados son iguales y aquí tenemos el ángulo recto así es que esta distancia que tenemos aquí entre este punto y este punto la longitud de la hipotenusa corresponde a esta distancia que tenemos aquí entre las gráficas de fx y gdx para un valor dado dx obviamente el valor de esa distancia va a ir variando a medida que cambia el valor de x y para ayudarnos a visualizar la figura aquí dibuje el plano coordinado como si fuera el plano horizontal para tener una perspectiva como si estuviéramos viendo la figura desde arriba con un cierto ángulo así es que aquí es donde dibujado la base de la figura esta región que tenemos aquí de hecho para que se aprecie mejor voy a hacer los trazos del sombreado como si fueran paralelos a las secciones transversales así es que esa que sombreado en la base pero también tenemos otros dos lados es este lado que tenemos aquí que podemos ver como el lado superior o el lado izquierdo más precisamente en esta gráfica corresponde a esta región de aquí cuando estamos viendo la figura desde arriba y también tenemos este otro lado que en esta figura corresponde al lado derecho mientras que en esta gráfica se ubica en la región posterior ahora todo esto que hemos hecho aquí inclusive este intento de visualizarlo en tres dimensiones para ver si podemos obtener una integral definida que nos permita calcular el valor del volumen de nuestra figura que aquí hemos intentado dibujar en tres dimensiones y que parece un medio balón de fútbol americano o medio balón de rugby te invito a que le pongas pausa intentes calcular cuál es ese integral definida que calcula el volumen vas a necesitar usar el hecho de que las gráficas de las fusiones intercepta en el origen y en el punto se coma de así es que trata de obtener esa expresión es integral definida donde van a aparecer ceros se de fx gdx y con la cual vas a poder calcular el volumen de la figura bien supongo que le pusiste pausa y lo intentaste hagámoslo ahora juntos una manera de ver esto es que el volumen de la figura completa lo podemos aproximar calculando el volumen de cada una de estas secciones transversales o rebanadas cuyas caras son triangulares y podemos suponer que tienen un espesor realmente pequeño un espesor realmente pequeño déjame sombrear lo aquí en esta figura ya esa pequeñísima longitud del espesor vamos a designar la x de x así es que vamos a calcular el volumen de cada una está rebanadas calculando el área lateral y multiplicando la por ese pequeño espesor de x multiplicándolo por ese pequeño dx que aquí en la figura tridimensional sería este de aquí este es de x dejan escribir lo más claramente esté aquí sería de x y ahora cómo vamos a calcular entonces el volumen de cada una de estas rebanadas bien deja de llamarle a esta longitud h y sabemos que h está dada por fx - gdx que aquí corresponde a esta longitud así es que esto es h así es que entonces h es igual de hamed hecho llamarla accede x pues va a ser una función de x hdx es igual a efe de x - - gdx ahora ya que tenemos h cómo calculamos el área de este triángulo bien sabemos que este es un triángulo rectángulo isósceles sus ángulos son 90 45 y 45 y sabemos entonces que esos dos catetos iguales del triángulo isósceles miden a raíz de dos sobre dos por la hipotenusa así es que este lado me de raíz de dos sobre dos por la hipotenusa y este lado también me de raíz de dos sobre dos por la hipotenusa esos valores se obtienen directamente el teorema de pitágoras digamos que este lado mi idea y este lado también mi idea entonces por qué ahora de pitágoras tenemos que a cuadra da masa cuadrada tiene que ser igual h cuadrada esto es 12 a cuadrada es igual a h cuadrada vamos a despejar a cuadrada a cuadra desigual h cuadrada sobre dos de dónde a es igual a aacce sobre raíz de dos lo cual es igual a raíz de dos por h sobre dos simplemente racionalice el denominador aquí multiplicando por raíz de dos sobre raíz de dos ya obtuvimos estos valores entonces cuál es el valor del área el área de un triángulo es base por altura entre dos así es que el área es entonces déjame escribir la que bajó el área de este triángulo es igual a la base que es raíz de dos sobre dos por h por la altura que también es raíz de dos sobre dos por h por un medio por un medio sino multiplicar los medios estaríamos obteniendo el área de este rectángulo que tenemos aquí pero nosotros queremos el área del triángulo y esto es igual a raíz de dos sobre dos por raíz de dos sobre dos esto es igual a un medio x un medio nos da un cuarto de h cuadrada y serían esto a ver veamos 6 d murray de 23 2 sobre cuatro es un medio x un medios y un cuarto de h cuadrada es el área y cuál va a ser el volumen de éstas rebanadas triangulares bien el volumen el volumen de cada rebanada triangular el volumen de éstas rebanadas va a ser igual al área de la cara triangular que es un cuarto de h cuadrada que multiplica al espesor en este caso es de x de tal manera que si integramos todos esos volúmenes desde que x igual a cero hasta que x es igual hace vamos a obtener el volumen de toda la figura vamos a expresar eso entonces básicamente para obtener el volumen de toda esta figura vamos a calcularlo como aquí para no confundirnos deja de escribir que éste es el volumen de la sección transversal y aquí abajo si ya voy a poner como calcular el volumen el volumen de toda la figura de la figura y esto va a ser igual a la integral definida la integral definida desde que x es igual a cero hasta que quise se igualase el dx igual a cero hasta x igual hace de un cuarto de h cuadrada un cuarto de ya sabemos que hd x es igual a efe de x - gdx cuarto de fx - gdx todo eso elevado al cuadrado de x de x y ya hemos concluido ya encontramos una expresión una expresión que contienen integral definida para ser más precisos que nos permite calcular el volumen de esta extraña figura que construimos aquí
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