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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos a tratar de ver si podemos obtener una idea mucho más intuitiva del teorema del valor medio aunque ya entonces vamos a estudiar el teorema teorema del valor medio ok y verás que una vez que dominemos ya la digamos la anotación matemática en verdad es muy intuitivo entonces pensamos en el teorema del valor medio y para eso vamos a vamos a hablar de una función efe digamos que tenemos una función efe y vamos a empezar a pedirle condiciones está efe en principio tiene que ser continua ya saben que continúa significa que no tenga hoyos que no tenga saltos bruscos en fin y que efe sea continúa en algún intervalo cerrado digamos que empiecen a algún número a y que termine en algún número ve bien entonces vamos a tener este intervalo cerrado y ahí va a ser continua ahora otra cosa que hay que pedirle a a efe es que sea derivable derivable sea derivable en el intervalo abierto a coma b y ahora a lo mejor tú te estás tú te estarás preguntando qué significan intervalos abiertos y cerrados bueno por si no lo has visto los intervalos cerrados nos está diciendo que a y b están incluidos en este conjunto de números mientras que los intervalos abiertos dice que a y b no están incluidos pero si todos los que están entre ellos muy bien entonces cómo veríamos una función de este estilo déjenme ver si puedo dibujar aquí los ejes ahí tenemos un eje lg llegué acá voy a pintar hay más o menos tienen el eje x y voy a pintar aquí bueno aquí va a estar el punto a digamos que por acá está el punto b muy bien y voy a pintar una función que vaya de algún punto por aquí hasta por acá muy bien entonces aquí lo que tenemos este punto tiene una altura de fd a esto corresponde a lo que a la función evaluar aena mientras que de este lado este punto de aquí más o menos así esté aquí corresponde a efe db muy bien esta es la función evaluada en b y cómo ven la curva suave porque pedimos que efe sea derivable en el intervalo abierto ok entonces con estas condiciones lo que me va a decir el teorema del valor medio va a decir que existe algún punto cuya pendiente de la recta tangente en ese punto coincide con la con la pendiente de la recta o más bien con lap digamos con la tasa promedio de cambio muy bien qué quiere decir eso con dibujitos si pensamos en la tasa promedio de cambio simplemente no pensamos en estos dos puntos y los unimos con una línea los unimos con una ops esa línea no quedó muy derecha los ánimos con una línea roja ahí lo tienen ya unimos esos puntos con una línea esta línea esta línea se cante que une este punto con este otro en realidad su pendiente es la del la tasa de cambio promedio de esta función en este intervalo ahora el teorema del valor medio me dice que va a haber algún punto por aquí en medio cuya donde la pendiente de la recta tangente en ese punto coincide con la pendiente de la recta se cante que unen los puntos inicial y final o lo que es lo mismo la pendiente instantánea en este punto corresponde a la pendiente promedio de esta función también por ejemplo podríamos tener un aquí quizás no se ve tan claro más o menos pero aquí podríamos tener otro muy bien entonces el teorema del valor medio nos dice que existirá un punto donde el cambio llegue aquí estamos vamos a pensar el cambio llegue de toda la función en este intervalo dividido entre el cambio en x que entonces eso corresponde a digamos aquí está nuestro cambio llegue aquí está el talle acá estará nuestro cambio en x aquí está nuestro camión x entonces esto es la pendiente de esta recta secante será igual a quién será igual a efe db efe db - efe de a verdad que es justo esta altura tenemos efe db y le quitamos ésta que se fedea y luego dividimos todo entre ve - a ver - a es justamente la longitud de esta base entonces esto que es la pendiente de la recta secante coincida con alguna derivada de algún punto eso estamos esto ya lo estamos diciendo en términos matemáticos entonces si la función cumple estas dos propiedades podemos garantizar que existe un punto se digamos sé que se encuentre en el intervalo abierto ave es decir que no es mía que no es y tampoco es b de hecho vamos a ponerlo con sus colores correspondientes a y b entonces existe un punto se en en el intervalo abierto a como b donde donde se cumple que está pendiente será igual a la derivada en ese punto c ok entonces todo lo que me está diciendo el teorema del valor medio es que la tasa de cambio instantánea en algún punto se que por ejemplo podría ser éste que pintamos aquí o podría ser éste que que más o menos se puede ver en el dibujo la la tasa de cambio instantánea en esos puntos bueno al menos dice que hay al menos un punto en donde se saca esa tasa de cambio instantánea será igual a la tasa de cambio promedio de la función en el intervalo cerrado en los siguientes vídeos vamos a tratar de hacer un poco más de ejercicios para que quede más clara la idea del teorema del valor medio
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