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Transcripción del video

vamos a tratar de ver si podemos obtener una idea mucho más intuitiva del teorema del valor medio aunque entonces vamos a estudiar el teorema teorema del valor medio ok y verás que una vez que dominemos ya la digamos la notación matemática en verdad es muy intuitivo entonces pensemos en el teorema del valor medio y para eso vamos a les vamos a hablar de una función f digamos que tenemos una función f y vamos a empezar a pedirle condiciones a esta efe en principio tiene que ser continua ya saben que continua significa que no tenga hoyos que no tenga saltos bruscos en fin y que f sea continua en algún intervalo cerrado digamos que empieza en algún número a y que termine en algún número b muy bien entonces vamos a tener este intervalo cerrado y ahí va a ser continua ahora otra cosa que hay que pedirle a a efe es que sea derivable derivable sea derivable en el intervalo abierto a lo mejor tú te estás te estarás preguntando qué significan intervalos abiertos y cerrados bueno por si no lo has visto los intervalos cerrados nos está diciendo que hay b están incluidos en este conjunto de números mientras que los intervalos abiertos dice que hay b no están incluidos pero si todos los que están entre ellos muy bien entonces como veríamos una función de este estilo déjenme ver si puedo dibujar aquí los ejes ahí tenemos un eje lg y por acá voy a pintar hay más o menos tienen el eje x y voy a pintar aquí bueno aquí va a estar el punto a digamos que por acá está el punto ve muy bien y voy a pintar una función que vaya de algún punto por aquí hasta por acá muy bien entonces aquí lo que tenemos este punto tiene una altura de fedea esto corresponde a lo que a la función evaluada en a mientras que de este lado este punto de aquí y más o menos así este de aquí corresponde a efe debe muy bien esta es la función evaluada en b y cómo ven la la curva es suave porque pedimos que sea derivable en el intervalo abierto ok entonces con estas condiciones lo que me va a decir el teorema del valor medio va a decir que existe algún punto cuya pendiente de la recta tangente en ese punto coincide con la con la pendiente de la recta o más bien con la p digamos con la tasa promedio de cambio muy bien qué quiere decir eso con dibujitos si pensamos en la tasa promedio de cambios simplemente no pensamos en estos dos puntos y los unimos con una línea los unimos una ops esa línea no quedó muy derecha los unimos con una línea va de nuevo ahí lo tienen ya unimos esos puntos con una línea esta línea esta línea secante que une este punto con este otro en realidad su pendiente es la la tasa de cambio promedio de esta función en este intervalo ahora el teorema del valor medio me dice que va a haber algún punto por aquí en medio cuya donde la pendiente de la recta tangente en ese punto coincide con la pendiente de la recta secante que uno de los puntos inicial y final o lo que es lo mismo la pendiente instantánea en este punto corresponde a la pendiente promedio de esta función también por ejemplo podríamos tener una aquí quizás no se ve tan claro más o menos pero aquí podríamos tener otro muy bien entonces el teorema del valor medio nos dice que existirá un punto donde el cambio y aquí estamos vamos a pensar el cambio en y de toda la función en este intervalo dividido entre el cambio en x y entonces eso corresponde y digamos aquí está nuestro cambio aquí está el taller acá estará nuestro cambio en x aquí está nuestro camión x entonces esto es la pendiente de esta recta secante será igual a quien será igual a efe efe db - efe de verdad que es justo esta altura tenemos fpv y le quitamos esta que se fedea y luego dividimos todo entre b menos a b menos a es justamente la longitud de esta base entonces esto que es la pendiente de la recta secante coincidirá con alguna derivada de algún punto eso está esto ya lo estamos diciendo en términos matemáticos entonces si la función cumple estas dos propiedades podemos garantizar que existe un punto digamos que se encuentra en el intervalo abierto a b es decir que no es ni a que no es y tampoco es b de hecho vamos a ponerlo con sus colores correspondientes y ve entonces existe un punto ce en en el intervalo abierto a b donde donde se cumple que está pendiente será igual a la derivada en ese punto ce ok entonces todo lo que me está diciendo el teorema del valor medio es que la tasa de cambio instantánea en algún punto se que por ejemplo podría ser este que pintamos aquí o podría ser este que que más o menos se puede ver en el dibujo la tasa de cambio instantánea en esos puntos bueno bueno al menos dice que hay al menos un punto en donde esa esa tasa de cambio instantánea será igual a la tasa de cambio promedio de la función en el intervalo cerrado en los siguientes vídeos vamos a tratar de hacer un poco más de ejercicios para que quede más clara la idea del teorema del valor medio
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