Ejemplo del teorema del valor medio: una función con raíz cuadrada

sea este de x igual a la raíz de 4 x 3 y se hace el número que satisfaga el teorema del valor medio para f en el intervalo 1 menor o igual que x menor o igual a 3 encuentran el valor de 0 así que qué te parece si recordamos que tiene que cumplirse para que satisfagan el teorema del valor medio para f bueno primero x igual hace es el punto en donde la pendiente de la recta tangente a la curva debe de ser igual a la pendiente de la recta secante entre x 1 y x 3 es decir que si f prima deben ponerlo con este color si f prima de c es la pendiente de la recta tangente cuando x balesem muy bien esto tiene que ser igual a la pendiente de la recta se decanten que conecta a estos dos puntos recuerda tenemos los puntos 1 1 y 3 efe de 3 ya después veremos cuánto valen efe de 173 pero lo que quiero que veas es que esto de aquí va a ser exactamente igual que f3f de 3 - f1 ok y si a esto lo dividimos entre 3 menos uno observa que aquí me estoy tomando la pendiente la pendiente de la recta secante entre los puntos 1 1 y 3 efe de 3 y si quieres saber de una manera visual de lo que estoy hablando lo podemos ver así déjame ponerlo como por aquí y mediante que éste es x este es mi eje x y por aquí me tomo no sé a 0 por aquí me tomo al 1 por aquí me tomo al 2 y por aquí me tomo el 3 y vamos a fijarnos en qué es lo que pasa entre 1 y 3 así que por aquí imagínate que tomó al punto 1 f 1 1 de uno bueno de hecho podemos saber cuánto valen f1 si ponemos el valor de uno aquí en esta función x igual a uno me darían 4 por 1 es 4 - 3 es uno y la raíz de uno es 1 entonces me quedaría el punto 11 muy bien 1.1 y porque tengo el punto 3 efe de 3 y podemos ver cuánto es entre 3 y 4 por 3 es 12 12 339 entonces la raíz del nueve es 3 perfecto tenemos el punto 3,3 ahora bien imagínate que por aquí me tomo una curva que se ve más o menos así me tomo esta pulpa de aquí esta va a ser mi curva y ahora imagínate que me voy a fijar en la recta secante que pasa por estos dos entonces déjame poner bien a este punto es más lo voy a poner con otro color a este punto muy bien a este otro punto y ahora vamos a aplicarnos en la pendiente de la recta que conecta a estos dos puntos se vería más o menos así una recta que conecta a estos dos puntos muy bien y lo que te dice el teorema del valor medio es que existe una serie no sé por aquí la cual al fijarnos en el punto que toma en la curva supongamos este de aquí déjame ver este de aquí el cual más el punto se coma fcc todavía no sabemos cuánto vale es hacer si nos fijamos en este punto bueno este punto cumple con una peculiaridad la pendiente de la recta tangente a la curva en este punto va a ser la misma pendiente que toma la recta secante esta recta de color anaranjado que acabo de dibujar va a tener la misma pendiente de hecho lo que nos piden encontrar es este valor de cm es decir buscamos un punto tal que la pendiente de su recta tangente la curva la pendiente de esta red está evaluada claro en este punto al cm sea igual a la pendiente en la recta que pasa por estos dos puntos finales bien pues vamos a encontrarse y para eso esencialmente tenemos que resolver esta ecuación que tengo aquí así que qué te parece si primero calculamos f prima de x y para eso voy a copiar aquí a fx que es igual a quien bueno es igual a 4x menos 34 x menos 3 pero en lugar de poner la raíz cuadrada voy a poner a esto elevado a la potencia 1 y así me va a ser mucho más fácil derivar esta expresión que tengo aquí 4x menos 3 sale un medio es lo mismo que la raíz de 4 x 3 bien entonces vamos a ver cuánto es efe prima de x si observas f prima de x va a ser igual utilizando la regla de la potencia y también las reglas de la cadena esto va a ser igual a bueno primero tomémonos la derivada de 4x menos 3 a la un medio con respecto a 4x menos 3 y para eso este un medio lo vamos a bajar multiplicando me quedaría un medio que multiplica a 4x menos 3 esto elevado en la potencia menos un medio le quitamos 1 al exponente ojo aquí estoy derivando primero 4x menos 3 a la un medio con respecto a 4x menos 3 pero ahora habrá que multiplicar esto por la derivada de 4 x 3 respecto a x la derivada de 4x con respecto a x es 4 y la derivada de menos 3 con respecto a x es cero así que simplemente nos quedan cuatro libras y cuatro por un médium es lo mismo que dos y puedo decir ya que la derivada de x va a ser lo mismo que 22 ya esto lo voy a dividir entre la raíz de 4x menos 34 x menos 3 aquí tengo 4 x menos 3 al a un medio bueno es la raíz de 4 x 3 pero como tengo este signo negativo entonces va a pasar como nuestro denominador es el signo negativo va a ser que se vaya esa raíz de 4x menos 3 hacia abajo ok entonces esto es entre prima de x pero nosotros lo que queremos es f prima de s así que qué te parece si sustituimos hace en esta expresión entre prima de se va a ser lo mismo que dos lo voy a poner aquí y que a su vez está dividido entre la raíz cuadrada la raíz cuadrada de 4 cm menos 3 y estoy sustituyendo a x por el valor de ser y esto va a ser igual esto va a ser igual a efe de 3 - f1 entre 3 - 1 pero efe de 3 ya no tenemos efe de 3 vale 3 porque recuerda 12 - 3 es 9 y la raíz de 9 estrés así que me quedarían que este de aquí vale 3 este de 1 también ya lo tenemos valía 1 así que lo voy a poner aquí 1 y me queda simplemente 3 - 1 entre 3 - 1 lo cuales 2 entre 2 y es exactamente lo mismo que uno entonces buscamos un punto entre 1 y 3 donde la derivada en ese punto es decir la pendiente de la recta tangente sea exactamente igual a 1 así que vamos a ver si puedo resolver esto qué te parece si primero multiplicamos de ambos lados por bueno por esto que tengo acaba con la raíz de 4 c menos 3 y así voy a obtener que 2-2 es igual y de este lado me quedaría la raíz la raíz de 4 cm menos 3 lo único que hice fue multiplicar de ambos lados por la raíz de 4 c menos tres para poder quitarlo del denominador en el lado izquierdo y ahora qué te parece si el debut de ambos lados al cuadrado para quitar esta raíz voy a elevar de ambos lados al cuadrado esta raíz con este cuadrado se van y me queda que 44 es igual a 4 cm menos 3 muy bien sumando 3 ambos lados me queda que 7 es igual a 4 cm muy bien y si ahora divido de ambos lados entre 4 déjame ponerlo por acá si habrá dividido entre 4 de ambos lados me va a quedar que se es igual a 7 cuartos a 7 cuartos o es exactamente lo mismo que un entero tres cuartos o lo podemos ver como 1.75 así que si observas por aquí no tenía una mala aproximación por aquí está lo es un poquito antes un poquito antes tengo el valor de 1.75 y ya está esta es mi respuesta correcta esto es lo que nos pide el problema un valor de sé que en este caso fue cercano a 2 y espero que esto te haya dado una idea de lo que tenemos aquí y de que el teorema del valor medio dice que la pendiente de la recta tangente en este valor de cm es igual a la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos por el punto 1 efe de 1 y por el punto 3 efe de 3