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Optimización: suma de cuadrados

¿Cuál es el mínimo valor posible de x^2+y^2 si su producto es xy = -16? Creado por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style para el usuario David Iván
    Hola! Disculpa y cómo hubiésemos procedido si quisiéramos maximizar la suma?
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  • Avatar aqualine ultimate style para el usuario maycol.medina
    ¿Por qué encontrar los puntos críticos nos sirve para resolver este problema?, no entiendo cómo se relacionan.
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  • Avatar aqualine seed style para el usuario Laime Zumiko
    ¿Por que sale 2X elevado al 4?
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  • Avatar primosaur seedling style para el usuario Antonio Reina
    No es claro de dónde sale 2X elevado a la 4?
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  • Avatar piceratops ultimate style para el usuario isaacmaster002
    ¿Cuál era la finalidad de sacar la segunda derivada?
    la única lógica que saque terminando el video es que sacando el valor obtenido para X (que es 4) lo cambies en la ecuación de la segunda derivada y resolver de tal manera que observemos si el valor es positivo, y de ser así, el valor obtenido es correcto ¿Me equivoco?

    Actualización: en el siguiente video explica mejor a que se refieren con la segunda derivada, explica por que el valor es lo mas mínimo posible para contestar la pregunta, y te preguntaras, como logras que te de los valores mínimos o máximos, depende de lo que se requiera en el problema y eso es trabajo de la gente y no tanto de que lo explique el problema
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  • Avatar female robot amelia style para el usuario Romana Jael Mis Yam
    Gracias, me resultó de ayuda, pero... ¿por qué es necesario sacar los puntos críticos?
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Transcripción del video

nos preguntan cuál en la menor suma de cuadrados posible para dos números con producto menos 16 ok esto ya que es un problema de optimización y lo que vamos a hacer es plantear el problema con algunas variables y después resolverlo con lo que hemos platicado de derivadas entonces empecemos con esto con dos números vale entonces a esos dos números vamos a ponerle vamos a ponerles xy ya va entonces nos preguntan por la menor suma de cuadrados es decir queremos minimizar ese igual a x al cuadrado déjame ponerle un poco más grande porque creo que tengo suficiente espacio ese es igual a x al cuadrado más ye al cuadrado va a hay que minimizar esta expresión y además de esos dos números sabemos que su producto que su producto es igual a menos 16 lo voy a escribir por acá xy es igual a menos 16 ahora aquí tenemos dos variables x y pero nosotros sabemos hacer las cosas nada más con una entonces el chiste es intentar obtener únicamente expresiones en términos de una variable digamos x y trabajar con esa variable en términos de cálculo entonces por ejemplo de aquí podemos despejar para obtener en función de x y luego sustituirlo acá para hacer esto aquí despejamos ye dividiendo entre x ambos lados y nos queda que es igual a menos 16 dividido entre x sale aquí ya tenemos una expresión de g en términos de x que poniendo laca obtenemos que s es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a poner que es menos 16 entre x entre x elevado al cuadrado muy bien desarrollando esto un poquito nos queda que ese es ese y aquí ya le podemos poner ese de x porque ya nada más depende de x es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a desarrollar esto menos 16 al cuadrado es 16 x 16 3 256 menos por menos es más entonces nos queda más 256 dividido entre x cuadrada pero lo voy a escribir como x a la menos 2 para que sea más fácil derivar sale entonces estoy acá ya es la suma de cuadrados expresada en una sola variable entonces ya podemos derivar encontrar los puntos críticos o ver dónde bueno donde no está definida la derivada y entonces podríamos encontrar el mínimo sale entonces vamos a hacer eso déjame escribir la derivada acá con este color verde acá a la derecha entonces si estoy acá ssd x s prima de x vamos a derivar nos quedaría igual a derivamos x al cuadrado baja el 2 y queda x a la 1 y luego hay que sumar otra vez derivando está esta potencia es x a la menos 2 al menos 2 baja menos 2 por 256 es menos 512 menos 512 por x sala y el exponente baja en uno de menos 2 pasa a menos 3 x a la menos 3 muy bien entonces tenemos dos posibilidades para puntos críticos uno es cuando se anula la derivada y otro es cuando no está definida aquí vamos a ver cuando nuestra definida pues el 2x no tiene problema pero esto como es dividir entre x al cubo no está definido cuando x es igual a 0 pero bueno igual si x es igual a 0 y está también dividido entre entre x o sea dividido entre 0 entonces tampoco está definido así que no le vamos a hacer caso a ese caso de ahí porque ya sería bueno podemos pensarlo como infinito entonces pues no sería la menor suma bueno entonces la otra opción es que esta derivada sea igual a cero es decir que 2x menos 512 x a la menos 3 sea igual a cero ok vamos a despejar x de aquí sumamos 512 x a la menos 3 de ambos lados nos quedaría que 2x es igual a 512 porque quizá la menos 3 y pues multiplicando por x al cubo de ambos lados tendríamos que 2x a la cuarta es igual a aquí y x al cubo por x a la menos 3 se hace 12 x a la cuarta es igual a 512 dividiendo entre 2 ambos lados el 2 se cancela nos queda x a la cuarta igual a 256 ok entonces ahora tenemos que encontrar el valor de x que satisface cómo le hacemos pues tenemos que sacar raíz cuadrada verdad nos queda que quizá al cuadrado es igual a 16 a 16 digo sacando la raíz aquí podría ser 16 o menos 16 pero este es un número positivo entonces sólo puede ser 16 y sacando raíz cuadrada una vez más tenemos que x es igual a 4 o menos 4 pero como lo como el producto de los números es menos 16 1 es positivo y otro es negativo podemos pensar que xe es el positivo vale déjame ponerle por acá que x es el que es mayor o igual que 0 entonces ya es menor o igual que 0 para que nos quede negativo entonces x es igual a 4 ya tenemos este punto crítico y como es el único punto crítico pues muy seguramente nos va a ayudar a encontrar la menor suma de cuadrados posibles pero bueno digo por si las dudas no vaya a ser que no vamos a hacer el criterio de la segunda derivada entonces aquí ya tenemos la derivada la la primera derivada déjame pasar a a este color azul claro entonces vamos a hacer la segunda derivada aquí s segunda derivada de x s de prima esto de aquí es igual a aquí derivando 2x nos quedan 2 y luego nos queda este la derivada de esto de acá que es menos 3 por 512 negativo x a la menos cuatro o sea haber menos por menos es más aquí nos quedan más tres por 512 3 por 506.500 3 por 12 36 entonces es 1536 y luego x nos queda elevado a la menos 4 muy bien observa esto es dividir entre quizá la cuarta y equis a la cuarta siempre es positivo entonces esto es positivo esto es positivo y de este modo la segunda derivada siempre es mayor o igual que hicieron como se vería el dibujito esto lo que nos dice que la segunda derivada sea mayor o igual que 0 es que la función s tiene una gráfica que es cóncava hacia arriba que se ve más o menos así sea como una u entonces el hecho bueno de que la segunda derivada sea mayor o igual que 0 es que la primera derivada empieza digamos negativa déjame ponerlo con este cual combinaría viene el blanco entonces entonces la derivada empieza sin negativa pero la segunda derivada es mayor o igual que 0 entonces la derivada va creciendo cada vez se está menos inclinada a la pendiente menos inclinada aquí se hace 0 en el mínimo verdad y luego sube y sube sube va entonces una segunda derivada mayor o igual que 0 nos da una función cóncava hacia arriba y de esta forma cuando la derivada de cero tenemos un mínimo así que en efecto x es igual a 4 nos va a dar el mínimo bueno pero nosotros queremos encontrar la suma de cuadrados ya sabemos el valor de x ahora tenemos que encontrar el valor de bank entonces qué tendríamos déjame ponerlo con este color verde para indicar que viene de acá entonces sería igual a menos 16 dividido entre cuatro porque x vale 4 o sea que ya sería igual a menos 4 a eso está bueno verdad que es menor o igual que 0 como esperábamos porque x es mayor o igual que 0 y el producto es menos 16 están los dos números con producto menos 16 y finalmente regresando a la suma de cuadrados tendríamos que la suma de cuadrados es igual a x al cuadrado sea 4 al cuadrado más menos 4 al cuadrado menos 4 al cuadrado que es igual a 16 16 verdad menos al cuadrado es más que es igual a 32 muy bien aquí tenemos el resultado y a lo mejor puedes decir oye no sé a lo mejor yo yo sí o sí va a encontrar estos valores estamos muy facilito el problema me estás diciendo que tienen producto menos 16 entonces es muy natural pensar en 4 y menos 4 entonces a lo mejor comprobando 4 y menos 4 y 2 y menos 8 y menos 8 y 2 y 116 y va a sacar esta solución y bueno sí pero ojo aquí nunca nos dicen que los números son enteros entonces en realidad de vista de haber secado todos todos los casos no sólo x igual a 1234 y aquí sino x igual a 4.333 o 4.01 o no sé 44 más bio lo que sea entonces pues realmente había muchos casos que checar y bueno incluso pudo haber pasado que este producto no fuera menos 16 este producto pudo haber sido 17 o menos 19 o una cosa más fea si por ejemplo pi cuadrada entre entre 8 y cuadrado entre 2 entonces en este caso no iba a ser tan fácil poder probar todos los números de hecho no ibas a poder probar todos los números hay una infinidad pero haciendo estas cuentas de cálculo si se hubiera optimizado la suma de cuadrados así igualito bueno le voy a dejar hasta aquí nos vemos hasta la próxima