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Transcripción del video

se hace una función definida para todos los números reales además sea que prima la derivada de gente definida como g prima de x igual a x cuadrada entre x menos 2 elevado a la tercera potencia para que intervalo es la función g es creciente la función g es creciente ojo porque seguramente lo primero que vas a pensar es si no tenemos la función g como vamos a averiguar dónde está creciendo bueno la respuesta a esa pregunta sería que todo lo que necesitamos es hacer prima que es justo lo que nos dan que prima es esta expresión que tengo aquí ya que decir en qué intervalo es la función que es creciente es exactamente lo mismo que pensar para qué intervalos g prima de x g primas de x esto va a ser mayor que es 0 si tu razón de cambio con respecto a x es mayor que 0 es positiva entonces tu función original va a ser creciente bueno pues hay varias formas de resolver esto por ejemplo podemos trabajar con la estructura de la derivada y pensar cuando esto de aquí va a ser más grande que 0 o tal vez podemos hacerlo de una forma más metódica y para eso vamos a fijarnos en los puntos críticos así que déjame escribirlo aquí vamos a hablar de los puntos críticos donde los valores críticos para la función g los críticos y bueno para esto vamos a recordar que es un punto crítico dejen los valores críticos para que son aquellos valores de x que hacen que ge prima de x que prima de x esto sea igual a cero eso es un primer caso con el otro caso es que g prima de x prima de x sea indefinida sea d fin es decir vamos a buscar todas las equis que hagan que prima de x igual a 0 kg prima de x sea indefinida y de hecho tenemos varios vídeos sobre estos puntos críticos y sobre valores críticos y si te preguntas por qué esto es relevante bueno porque justo aquí tenemos los lugares o los posibles lugares donde el signo de mi derivada que prima puede cambiar donde podemos tener un cambio de signo para ge prima entonces bueno primero pensemos en este caso cuando que prima de x es igual a 0 bueno la forma de obtener que prima de x igual a 0 es cuando el numerador en esta expresión que tengo aquí es igual a cero y el numerador es esta parte de arriba entonces me quedaría que x 4 desigualdad 0 o bueno eso va a ser igual a cero cuando sea igual a cero así que lo voy a escribir aquí x igual a cero hace que prima de x igual a cero porque el numerador se hace cero ahora bien cuando he prima de x es indefinido bueno esta función de aquí se hace indefinida cuando la parte de abajo es igual a cero es decir cuando el denominador es igual a cero y este denominador es igual a cero cuando x 2 es igual a 0 x menos 2 es igual a cero o dicho otra manera x toman el valor de 2 esta es la forma en que este denominador se haga igual a 0 y por lo tanto esta función sea indefinida entonces tenemos dos puntos críticos o dos valores críticos y para ver qué es lo que pasa con la función que te parece si dibujamos por aquí una recta voy a dibujar una recta numérica justo por aquí y vamos a fijarnos qué es lo que está pasando con la función entre estos valores críticos que esta va a ser mi recta numérica no ok me estoy fijando en los valores de x y si empezamos por aquí en 0 por aquí tengo al 0 por aquí lo voy a tomar al 1 ok por aquí me voy a tomar al 2 muy bien por acá estaré al 3 y bueno de este lado por aquí tendría al menos 1 y ahora me voy a afiliar que es lo que pasa entre estos puntos críticos déjame ponerlo a este lo voy a poner con color anaranjado es el valor de x igual a 0 estamos justo aquí y al otro lo voy a poner con este color con un color azul muy bien entonces x igualados está justo aquí y vamos a fijarnos qué es lo que pasa entre estos puntos críticos y en los demás intervalos es más para eso voy a empezar con me parece con este intervalo de aquí voy a empezar con todo este intervalo de aquí estoy aquí que si observas es desde menos infinito desde menos infinito hasta cero es un intervalo abierto y ahora vamos a fijarnos qué es lo que pasa con g prima en este intervalo así que para eso vamos a fijarnos aquí en esta función g prima de x en la función derivada si observas aquí vamos a tener valores negativos pero si elevamos cualquier valor negativo al cuadrado lo de arriba nos va a dar algo positivo nos va a dar algo positivo sea lo que sea elevado al cuadrado va a ser positivo mientras no sea cero y que nos va a quedar en el denominador bueno si tenemos algo negativo y a esto le restamos todavía 2 nos va a dar un número más negativo y al elevar todo esto al cubo observa que vamos a obtener algo negativo un número negativo elevado al cubo me va a dar algo negativo entonces me quedaría la división de un número positivo entre un número negativo me va a dar un número negativo entonces en este caso la derivada me quedaría algo negativo déjenme escribirlo en este caso g prima de x me va a dar algo negativo y entonces lo voy a poner aquí que prima de x en este intervalo va a ser negativa lo que quiere decir en definitiva que en este intervalo mi función g va a decrecer mi función que va a decrecer porque la primera derivada de mi función g es negativa muy bien ahora vamos a fijarnos en el siguiente intervalo ahora muy bien fijar en este intervalo que tengo aquí en este que tengo aquí que es de cero abierto hasta 2 muy bien qué pasa si me tomo cualquier valor entre este intervalo bueno pues vamos a ver cómo se comporta la derivada de nuevo si observas la parte de arriba va a ser positiva va a ser positiva porque observa que no estamos tomando unos al 0 cualquier número elevado al cuadrado es positivo en la parte de abajo bueno si tomamos números entre el 0 y el 2 no sé por ejemplo el 1 que me quedaría uno menos 2 es menos uno que es un número negativo y es elevarlo al cubo me va a dar un número negativo es decir cualquier número que tengan este intervalo al restarle 2 me va a dar algo negativo y después al elevarlo al cubo me va a dar otra vez algo negativo lo que quiere decir que en este caso tengo algo positivo entre algo negativo y eso me va a dar un valor negativo entonces en este caso tengo que la derivada de x va a ser también menor que cero lo voy a escribir aquí prima de x en este intervalo también me va a dar algo menor que cero y bueno por último tenemos este intervalo de aquí este intervalo de aquí desde el valor de 2 abierto hasta infinito vamos a ver cómo se comporta la derivada en ese intervalo muy bien observamos que el numerador como ya vimos va a ser algo positivo cualquier número el de palo cuadrado es positivo muy bien y qué va a pasar con la parte de abajo bueno el denominador me va a quedar de la siguiente manera ahora qué pasa si tomamos valores mayores que 2 ya eso le quitamos 2 bueno vamos a obtener un valor positivo y si a eso no le vas al cubo me va a dar algo positivo así que en este caso la parte de abajo también es positiva y me va a quedar algo positivo entre algo positivo eso me va a dar algo positivo lo que es decir kg prima de x me va a dar en este intervalo valores positivos prima de x es mayor que 0 en este intervalo y si ahora regresamos a la pregunta para qué intervalos la función g es creciente bueno va a ser en los intervalos en donde la derivada de x sea mayor que 0 y eso pasa justo en este intervalo de aquí en donde x está en el intervalo abierto de 12 infinito así que lo podemos ya escribir aquí la respuesta sería de 2 hasta infinito bueno esta es una forma de escribirlo porque también lo podemos escribir común todas las x que son mayores que 2 esa sería mi respuesta para cualquiera de estos que tenemos aquí que prima de x va a ser mayor que 0 y eso quiere decir que la función que va a ser creciente en ese intervalo
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