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Transcripción del video

digamos que tengo la función fx igual a 8 veces el logaritmo natural de x-men os x cuadrada y por supuesto esta función la vamos a definir en un dominio y el dominio va a ser el intervalo cerrado 1,4 y cuando hablamos del intervalo cerrado estamos pensando por supuesto en que tanto el punto uno como el punto cuatro están incluidos en el dominio de la función muy bien entonces la pregunta que te hago y que espero puedas hacer una pausa y tratar de resolverlo por tu cuenta es encontrar cuál es el valor máximo absoluto el valor máximo absoluto de nuestra función efi muy bien es la pregunta te invito a que hagamos una pausa y trate de resolver lo que y entonces espero ya hayas hecho una pausa y al menos intentado dar una respuesta al problema vamos a ver qué pasa vamos a utilizar el teorema del valor extremo que es lo que nos dice el tema del valor extremo digamos que tengo yo un intervalo cerrado muy bien tenemos aquí un intervalo cerrado y el teorema el valor extremo nos dice que siempre que tengamos una función continua en un intervalo cerrado entonces podremos encontrar tanto el máximo absoluto df como el valor mínimo absoluto df por ejemplo y de hecho tenemos varias varios escenarios o varias varias posibilidades en que esto puede ocurrir por ejemplo si aquí estamos definiendo nuestra función podríamos tener algo así que el valor extremo o el valor máximo de de la función se encuentra en alguno de los extremos del intervalo por ejemplo puede que ocurra algo así verdad y entonces el máximo se encuentra en uno de los extremos puede ocurrir otra situación que el valor máximo se encuentre al inicio del intervalo como más o menos de esta forma puede ocurrir o bien también puede ocurrir que no esté ni en en más bien en los extremos de del del intervalo si no que ande por enmedio en cuyo caso sí es bastante bien comportado a la función aquí tendremos que la pendiente cero donde está el máximo o bien podríamos tener una cuarta situación en donde tengamos el máximo de esta forma muy bien en cuyo caso la derivada no está definida entonces en este tipo de situaciones por ejemplo en en este a este valor le llama le llamamos el punto crítico verdad el punto crítico es aquel en donde la derivada se anula este es el punto crítico muy bien entonces vamos a ver dónde están los extremos vamos a evaluar más bien la función en los extremos del del intervalo y luego calcularemos la derivada para encontrar valores críticos o bien donde no está definida la función o qué y luego vamos a comparar cuánto vale la función en cada uno de ellos entonces quienes la deriva de nuestra función efe entonces tendremos que derivar 8 por el logaritmo natural de x la derivada es 8 / x - la deriva de x cuadrada que es 2x y si yo quiero hallar puntos críticos tengo que ver cuando esto es igual a cero entonces podemos sumar 2 x de ambos lados y tenemos 8 / x es igual a 12x si ahora multiplicamos de ambos lados por equis tendremos que ocho es 2x cuadrada si dividimos de ambos lados entre dos tendremos que cuatro es x cuadrada y si ahora sacamos una raíz cuadrada tendremos que x es más o menos dos muy bien entonces tenemos estos dos puntos críticos sin embargo hay que recordar lo siguiente la función está definida en el intervalo 1,4 así que menos dos no tiene sentido porque no está en este en este intervalo así que el único punto crítico que tenemos es x igual a 2 muy bien ahora también podríamos preguntarnos dónde no está definida la derivada y vemos que sólo hay un punto en donde no está definida verdad aquí tenemos 8 / x así que no estaría de de perdón definida cuando x es igual a cero sin embargo en x igual a cero o más bien el punto igual a cero no está en nuestro dominio así que también la deriva está definida en todos lados así que nuestros candidatos para valores máximos absolutos son eje de uno que es evaluar en un extremo y esto sería ocho veces logaritmo natural de 1 - 1 al cuadrado también podríamos tener efe de cuatro que es evaluar en el otro extremo y tendríamos ocho veces logaritmo natural de 4 - 4 al cuadrado o bien efe de dos que es nuestro punto crítico y esto sería ocho veces logaritmo natural de 2 - 2 al cuadrado ban podríamos utilizar una calculadora y ver cuál de éstos es más grande pero vamos a tratar de hacerlo intuitivamente o al menos con un buen análisis no tenemos que el hogar y tmo natural de uno vale cero así que estoy aquí vale cero y sólo nos queda menos uno al cuadrado que es menos uno ahora bien efe de cuatro cuando es tenemos ocho veces el logaritmo natural de 4 - 4 al cuadrado keith entonces no se podría mostrar de ver por ejemplo el 4 es mayor que el número e iu menor que al cuadrado verdad recordemos que es como 2.71 me parece algo así ok sí sí ya récord de bien y es 2.718 más o menos entonces cuatro está por abajo de cuadrada quiere decir que el logaritmo natural de cuatro está entre el logaritmo natural de y el logaritmo natural de cuadrada que es decir el logaritmo natural de cuatro está entre uno y dos muy bien y esto nos dice que ocho veces el logaritmo natural de cuatro está entre 8 y 16 pero si después restamos 16 eso quiere decir que estamos entre menos 8 y 0 y bueno no tenemos forma de saber bien cómo es con respecto a f1 pero lo que sí sabemos es que éste es negativo y éste es negativo ahora bien efe de dos cuánto es veamos qué dos es más grande que la raíz cuadrada de quiere decir que el logaritmo natural de dos es más grande que un medio y ocho por un medio es más o bueno más bien 8 por el logaritmo natural de dos es mayor que ocho por un medio que es 4 y si le restamos cuatro quiere decir que esto es más grande que 0 quiere decir que esto de aquí es positivo y por lo cual yo le voy a elegir este como mi valor máximo de la función muy bien entonces este es el valor máximo de la función y se alcanza en el punto crítico en que es que es dos horas nada más vamos a comprobarlo con la calculadora por ejemplo si calculamos el logaritmo natural de 4 y luego lo multiplicamos por ocho y luego le restamos 16 tenemos que esto es menos -5 más o menos es como -5 y esto era positivo verdad porque tenemos el logaritmo natural de dos que si lo multiplicamos por ocho nos da 5.55 más o menos y si le restamos 4 obtenemos 1.55 más o menos que en efecto es positivo y este es nuestro valor máximo lo lo más interesante es que antes no pudimos resolver sin utilizar la calculadora
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