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Transcripción del video

aquí dibujé la gráfica de tres funciones una es fx que pinte en color rojo después efe prima de x la derivada en color rosa y finalmente pinte efe doble prima de x es decir la segunda derivada en color morado o bien también podemos pensarla como la derivada de la primera derivada además la saline para ver cómo están relacionadas bueno de lo que hemos platicado en vídeos pasados ya sabemos identificar máximos y mínimos a través de que la derivada se anule y viendo como cambia de signo por ejemplo en este punto de acá bueno en este punto la derivada se hace cero que corresponde más o menos a a este punto en la gráfica de fx y aquí tenemos un máximo como veíamos que era máximo con el cambio de signos de la derivada pues veíamos que antes de este punto la función era creciente era creciente lo cual correspondía a que la derivada fuera positiva y después de ese punto teníamos que la derivada de la negativa y por tanto que la función era decreciente esto nos indicaba que aquí teníamos un máximo local nada más local verdad a lo mejor ésta crece mucho por acá de manera similar en este punto otra vez aquí la derivada se anula es un punto crítico entonces corresponde más o menos a este punto de acá y ahora tenemos un mínimo que se puede identificar viendo que primero la derivada es negativa es decir que la función es decreciente y luego al cruzar el punto la derivada cambia de signo cambia de negativo a positivo y por tanto la función ahora se hace decreciente y eso es un indicador de que aquí tenemos un punto mínimo muy bien entonces lo que quiero hacer ahorita es hacer un poquito más sofisticado nuestro análisis de mínimos y de máximos metiendo un concepto que se llama concavidad déjame escribirlo por acá lo voy a poner en color si este color rojo está bien le voy a poner aquí concavidad nunca vi o ponerla de más grande concavidad muy bien básicamente la idea la idea de la concavidad es que vamos a utilizar la segunda derivada para identificar máximos y mínimos en vez de ver el cambio del signo de la primera derivada entonces vamos a analizar un poquito qué sucede con las regiones donde está el máximo y el mínimo ya platicar cómo se va moviendo la derivada porque pues cómo se mueve la derivada es como es la segunda derivada va entonces la derivada aquí al principio bueno déjame dibujar las las rectas tangentes la derivada pues más o menos pero en la recta tangente es como así verdad que tiene una pendiente es más o menos grande es positiva pero conforme vamos avanzando hacia la derecha tenemos que la derivada que es menor y por tanto la pendiente es menor luego la pendiente es menor menor menos y menos positiva hasta llegar a este punto en el punto crítico la derivada se hace cero y luego se empieza a ser negativa empieza a ser negativa y cada vez más y más negativa y más y más negativa hasta que llegamos a este punto de acá donde está el mínimo de la deriva sale entonces en toda esta región que le pasó a la derivada a la derivada empezó siendo grande y bajo bajo bajo bajo o sea también se ve aquí verdad peso siendo positiva menos menos positiva 0 negativa negativa y baja y baja y baja es decir tenemos que la derivada la deriva decreciente en esta región de acá y como la deriva desde creciente entonces la segunda derivada es menor que cero entonces le voy a poner que aquí la deriva desde creciente y por tanto la segunda derivada en esta región en esta región es menor que cero déjame cambiar de color a este color como como amarillo pastel entonces ahora vamos a la segunda región donde está el mínimo entonces en esta región donde está el mínimo ahora la derivada tiene un cierto valor ahorita es negativo pero conforme nos acercamos a este punto la derivada va creciendo crece crece al llegar aquí se hace cero y luego sigue creciendo crece y crece y crece más salen entonces empezó siendo negativa y después creció también se ve aquí en la gráfica de la es negativa crece 0 positiva y sigue creciendo y por lo tanto como la como la derivada como la derivada ahora es creciente creciente eso en términos de la segunda derivada es que es mayor que 0 va ahora aquí la de ayudad es mayor que cero a la izquierda tenemos como una forma de boca abajo y a la derecha tenemos una forma de boca arriba bueno esta forma de boca abajo y de boca arriba tienen un nombre entonces a esto se le llama justo como es la concavidad entonces déjame escribirlo con este color verde va entonces si tenemos que la gráfica aparece así como una volteada como una uva hacia abajo ya que la gráfica abre hacia abajo a esto se le dice que es cóncavo hacia abajo cóncavo hacia abajo hacia abajo abajo sale o bien que la gráfica es cóncava hacia abajo va por otro lado si tenemos una forma de un sí o sea como que la funcionase como una bus y abre hacia arriba estoy acá se le conoce como cóncavo cóncavo hacia hacia arriba arriba muy bien entonces ya tenemos cóncavo hacia abajo y tenemos cóncavo hacia arriba vamos a escribir esto por acá vale entonces como como bueno vamos a reescribir todas las cosas que ya sabemos qué sucede si tenemos una función que es cóncava hacia abajo cóncava cabo hacia abajo a abajo entonces a ver si es cóncavo hacia abajo eso quiere decir que la derivada que la derivada va decreciendo verdad entonces pues vamos a ponerlo así o sea que sea cóncavo hacia abajo es lo mismo que decir que la pendiente la pendiente es decreciente decreciente eso en términos de la primera derivada quiere decir que f prima de x es decreciente no me lo voy a poner así decreciente y entonces en términos de la segunda derivada eso es que ese doble prima de x sea menor que cero verdad una función es decreciente si su derivada es menor que cero aquí la función es f prima por lo tanto sus derivadas f doble prima de x la segunda derivada de f muy bien ahora vámonos con cóncavo hacia arriba cóncavo cóncavo asia arriba rival sale entonces con cóncavo hacia arriba ahora lo que tenemos en esta región de acá es que la pendiente es creciente la pendiente es creciente es creciente gente lo cual quiere decir que f prima de x es creciente va a poner así creciente lo cual quiere decir que la segunda derivada ahora no es menor que cero sino mayor que cero muy bien entonces ya tenemos cóncavo hacia abajo y cóncavo hacia arriba como le podemos hacer para utilizando estos términos o estas ideas identificar si un punto crítico es mínimo o es máximo bueno pues déjame hacer nada más los pequeños dibujos o sea cóncavo hacia abajo se ve como una n chinos o quedó muy chueco es como una n cóncava hacia arriba es como una y entonces qué sucede si tenemos que algo bueno una región en donde una función es cóncava hacia abajo y además tenemos un punto crítico imagínate que es cóncava hacia abajo y además de esto tenemos que en un punto a efe de a efe es igual a cero a pues en esta región tenemos una boca abajo es decir la pendiente va disminuyendo y disminuyendo eso que quiere decir que la función al principio es creciente la llega aquí se hace cero y luego la función es decreciente y por tanto si tenemos cóncava hacia abajo y además tenemos que f es igual a cero si tenemos un punto crítico esto implicaría implica que a es máximo bueno que tenemos un valor máximo de manera similar si tenemos cóncavo hacia arriba se ve como una u entonces aquí abajo vamos a tener que es un mínimo verdad pero dicho de otra forma ahora tenemos que la pendiente es creciente pero como pasa por cero al principio de la función era decreciente verdad la función efe era decreciente y luego se hace creciente entonces si tenemos que f prima de x es mayor que 0 y además tenemos que f y es igual a cero si ahora tenemos un punto crítico tenemos que a es un niño muy bien
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