If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:16

Transcripción del video

tengo por la cam a esta función que que está expresada como un polinomio de cuarto grado y lo que quiero hacer en este vídeo es pensar acerca de los intervalos sobre los cuales g es con cava hacia arriba o con cava hacia abajo ahora recordemos un poco a que me refiero con eso cuando tenemos una concavidad hacia arriba es más ha dejado escribirlo cuando tenemos una concavidad hacia arriba bueno en ese intervalo la pendiente bastar incrementando y tiende a verse como como una abierta lo puedes ver aquí y observan que la pendiente justo aquí es negativa y luego conforme x aumentan se vuelven menos negativa se aproxima a cero se vuelve 0 pasa al 0 y se vuelve ligeramente positiva más positiva y aún más positiva así que pueden ver que la pendiente en este caso está creciendo constantemente y si lo piensas en términos de derivadas que decir que la primera derivada está creciendo sobre ese intervalo y para que su primera derivada está creciendo sobre ese intervalo eso quiere decir que la segunda derivada tiene que ser mayor que ser es decir en una concavidad hacia arriba la primera derivada crecen lo que significa que la segunda derivada tiene que ser mayor que 0 y ahora qué pasa con una concavidad hacia abajo pasa justo lo contrario así que vamos a escribir lo tenemos ahora el caso de una concavidad hacia abajo y entonces cómo se vería bueno pues saber más o menos así y en este caso qué pasa podemos decir que ge prima de x va a decrecer a decrecer lo que significa que la segunda derivada de esta función g va a ser menor que será y entonces esto se vería más o menos así tú tienes esta función tienes una pendiente que es positiva se va volviendo cada vez menos positiva menos positiva se vuelve 0 y después empieza a convertirse en negativa más negativa y más negativa como puedes ver nuestra pendiente de crece constantemente mientras x que s así que para pensar en los intervalos en donde está g es con cava hacia arriba o hacia abajo lo que tenemos que hacer es encontrar la segunda derivada de g y luego vamos a pensar acerca de los puntos donde la segunda derivada puede ir de ser positiva negativa o de negativa a positiva y esos serán los lugares en donde bueno o va a ser indefinida o donde la segunda derivada sea igual a cero y después vamos a ver qué pasa en los intervalos en medio de esos puntos para así saber sobre qué intervalos la función será con cava hacia abajo o con cava hacia arriba así que manos a la obra vamos a hacerlo y para eso lo primero que voy a hacer es sacar la primera derivada de esta función gdx si observas es simplemente aplicar la regla de las potencias varias veces así que aquí tengo x elevada la cuarta y se aplica más larga de las potencias para la derivada me va a quedar que esto es menos 4 x a la 4 - 1 lo cual estrés y después aquí tengo 6 x cuadrada aplicando la regla de las potencias este 2 de multiplicar este 6 y me quedaría 12x elevado la potencia 2 - 1 lo cual es uno entonces lo voy a dejar así 12 x y después tengo aquí - 2 - 2 x sala cero lo cual es simplemente -2 y la derivada de -3 la deriva de una constante cero así que no hay que ponerla y ahora vamos a sacar también la segunda derivada g mi prima de x y para sacar la segunda derivada observa que también vamos a aplicar la ley de las potencias menos 4 x kubica siglo vivo me va a quedar menos 12 x cuadrada menos 12 x cuadrada y después tengo la deriva de 12x lo cual es simplemente 12 y la derivada de menos dos se van a 0 ok ahora observa esta función donde podría estar indefinida bueno la segunda derivada es sólo una expresión cuadrática la cual está definida para cualquier x así que no va a ser indefinida en ningún lado ahora entonces los puntos interesantes donde podríamos pasar por una segunda derivada negativa a una positiva o de una positiva a una negativa son donde estuve aquí sea igual a cero así que vamos a encontrar eso vamos a encontrar dónde menos 12 x cuadrada +12 esto sea igual a cero y para eso qué te parece si restamos 12 de ambos lados y me quedarían menos 12 x cuadrada esto es igual a menos 12 y ahora qué te parece vivido todo entre menos 12 y me va a quedar que es cuadrada es igual a 1 o dicho de otra manera x es igual a más - la raíz cuadrada de uno lo cual es uno entonces la segunda derivada de más menos uno es igual a cero así que en cualquier lado entre más uno o menos uno podríamos tener una concavidad hacia arriba o una concavidad trabajo y vamos a pensar en eso y para ello voy a hacer por acá una recta americam ok déjame poner que ésta es una recta numérica por aqim tengo no sea déjame para camps el valor de cero y bueno si este es el valor de 0 boyacá me voy a tomar el valor de 1 ok y por acá voy a tener el valor de 2 muy bien por acá voy a tener el valor de menos uno por acá voy a tener el valor de -2 de lujo y lo que nosotros sabemos es que en x igual a menos 1x igual a 1 mi segunda derivada vale cero así que vamos a pensar qué pasaría en los tres intervalos que nos quedan a continuación vamos a ver si en este primer intervalo nuestra segunda derivada es positiva o negativa y así seremos capaces de decir si es con cava hacia arriba o con cabeza abajo en ese intervalo así que primero fijémonos en este intervalo que tengo aquí es decir me estoy fijando en el intervalo que va de menos infinito hasta -1 si probamos un valor para saber si la segunda derivada es positiva o negativa y entonces un valor fácil de probar sería menos dos vamos a ver qué pasa con la segunda derivada en el valor de menos 2 bueno pues que me quedarían evaluamos menos dos en esta segunda derivada voy a tener menos 12 por aquí tendría 4 - 12 por cuatro lo cual es menos 48 +12 esos menos 36 y lo importante aquí no es el valor que obtengo sino que en todo este intervalo la segunda derivada es negativa ya que no estamos pasando el serum ni es discontinua esta función en ninguno de estos puntos y es por eso que escogimos justo ese intervalo entonces durante todo este intervalo la segunda derivada es negativa lo que quiere decir que tenemos una concavidad hacia abajo déjame escribirlo muy bien ahora fijémonos qué es lo que pasa en el siguiente intervalo y ahora me voy a fijar en este intervalo que tengo aquí el que va de menos uno hasta 1 en todo este intervalo que tengo aquí en escribirlo va de menos uno hasta 1 y de igual manera vamos a probar un valor para evaluar la segunda derivada y el valor más sencillo que se me ocurre es cero así que voy a ver cuánto vale la segunda derivada en el valor de cero bueno pues vamos a sustituir 0 en esta función y eso es muy sencillo esto se eliminan me queda simplemente 12 y recuerda tanto no es el valor que obtengamos sino el signo de la segunda derivada en este caso mi segunda derivada va a ser mayor que 0 pero para todo este intervalo recuerda y eso quiere decir que tenemos una concavidad hacia arriba déjame escribirlo muy bien y finalmente vamos a ver el intervalo donde tenemos los valores más grandes que uno me voy a fijar en todo este intervalo que tengo aquí todos intervalo que tengo aquí que si observas ese intervalo que va de uno hasta el infinito y bueno vamos a probar de igual manera con un valor para ver qué es lo que pasa con la segunda derivada y el valor más fácil que se me ocurre es tomarme dos así que cuánto vale la segunda derivada en dos buenos pues si observas aquí me va a quedar lo mismo que lo que tenía en -2 porque nos ha cuadrado lo mismo que todos al cuadrado esos cuatro entonces me quedaría -48 +12 lo cuales 36 negativo menos 36 ok lo que me dice que en todo este intervalo la segunda derivada ok va a ser menor que cero y bueno de nuevo está diciendo que tenemos una concavidad hacia abajo bien ahora qué te parece si vamos a ver la gráfica de esta función que tengo aquí y vemos si realmente a lo que llegamos es congruente con lo que se ve en la gráfica así que para eso déjeme mover un poco la pantalla para que veas por aquí lo que está pasando con la gráfica que voy a traer a continuación quiero que te des cuenta que hasta aquí hemos sido capaces de llegar con estas ideas de concavidad sin graficar pero ahora déjame traer por acá la gráfica la tengo justo por aquí y vamos a echarle un vistazo a esta gráfica y si te das cuenta logramos hacer que los intervalos coincidieran aquí tengo al menos uno aquí tengo menos uno que por cierto sabemos que es un punto en donde la segunda derivada es igual a cero y también en x igual a 1 así que si observas aquí tenemos es que se vuelve a uno y ya hay es un punto donde también mi segunda derivada es igual a cero y ahora lo que estoy diciendo es que en ese intervalo de aquí de menos infinito a 1 déjame ponerlo con su respectivo color en todo este intervalo que tengo aquí tengo una concavidad hacia abajo en todo este intervalo que tengo a kim la pendiente de la recta tangente para constantemente decreciendo eso quiere decir que mi segunda derivada es menor que cero y si observas se ve correcto ya que la pendiente está decreciendo hasta llegar a este valor de 1 donde la segunda derivada es igual a cero y después en el siguiente intervalo la pendiente empieza a crecer crece crece crece crecen sigue creciendo hasta llegar a al valor de cero y después empecé a volver positiva positiva positiva hasta llegar a este punto que tengo aquí en donde x es igual a 1 y a partir de ese punto la pendiente ahora empieza a decrecer es positiva se pasa a ser cero y después se convierte en negativa negativa negativa hasta infinito así que ya está tenemos aquí una concavidad hacia abajo aquí una concavidad de arriba he aquí una concavidad hacia abajo así que pudimos encontrar la concavidad con sólo sacar las derivadas y haciendo un poco de álgebra am ahora ya podemos verlo claramente en esta gráfica
AP® es una marca registrada de College Board, que no ha revisado este recurso.