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Transcripción del video

a olga se le pidió que encontrara cuando es que fx igual a x2 a la cuarta tiene puntos de inflexión esta es su solución y al ver su solución nos preguntan si el trabajo de olga es correcto y si no cuál es su error entonces pausa en el vídeo y vean si pueden resolverlo ustedes solos ok primero vamos a ver qué fue lo que hizo aquí ella saca la primera derivada si aplicamos la regla de la cadena nos queda 4 por x menos 2 al cubo por la derivada de x menos 2 que es 1 así que esto es correcto y después si sacamos la derivada de esto nos queda 3 por 4 que es 12 por x menos 2 al cuadrado por la derivada de x menos 2 que es 1 y eso es exactamente lo que ella hizo 12 por x menos 2 al cuadrado eso es correcto entonces el primer paso de olga está bien ahora veamos el paso 2 de la segunda derivada igualada a cero es x igual a 2 y eso se ve bien porque la segunda derivada es 12 por x menos 2 al cuadrado y vamos a suponer que eso es igual a cero ahora esto solamente es verdadero cuando x es igual a dos así que el paso 2 también es correcto y en el paso 3 olga dice que f tiene un punto de inflexión en x igual a 2 vamos a ver ella está basándose en el hecho de que la segunda derivada es igual a cero cuando x es igual a 2 entonces está basándose en el hecho de que fbi prima de 2 es igual a 0 pero yo tengo un problema con esto porque si la segunda derivada es cero cuando x es igual a todos entonces el número dos es un buen candidato para que hagamos la revisión pero no podemos simplemente decir que tenemos un punto de inflexión aquí porque recuerden que un punto de inflexión es cuando pasamos de una función que con cava hacia arriba a una cóncava hacia abajo o de una que es cóncava hacia abajo a una cóncava hacia arriba y hablando en el lenguaje de la segunda derivada esto significa que la segunda derivada cambia de signos conforme pasamos por debajo de equis igualados y por encima de equis igualados pero hay que comprobar eso porque no siempre es el caso vamos a corroborar lo pensemos en algunos intervalos intervalos y vamos a pensar en el intervalo que va de menos infinito a 2 y en el intervalo que va de 2 a infinito y si queremos podemos definir algunos valores de prueba de prueba y también podemos pensar en el signo de la segunda derivada y sabiendo eso podemos conocer la concavidad de f ok entonces analicemos lo que ocurre primero vamos a tomar un valor de prueba vamos a suponer uno que se encuentra dentro de este intervalo y tres que se encuentra en este intervalo ok así que podemos decir que uno menos dos al cuadrado es igual a vamos a ver menos uno al cuadrado es igual a uno y después eso por 12 entonces esto será positivo y si ahora probamos con 33 menos 2 al cuadrado es 1 y eso por 12 bueno también es positivo por lo tanto aquí la función es cóncava hacia arriba al menos con estos valores porque el signo de la segunda derivada es positivo en los dos lados de x igualados y tal vez me digan bueno tal vez solo necesitamos encontrar valores más cercanos pero si inspeccionamos la segunda derivada podemos ver que esto nunca será negativo de hecho para cualquier otro valor diferente de x igual a 2 este valor aún cuando x2 fuera negativo todo esto se eleva al cuadrado por lo que todo esto termina siendo positivo y luego lo multiplicamos por un valor positivo así que para cualquier valor diferente de x igual a 2 el signo de la segunda derivada es positivo lo que significa que es cóncava hacia arriba entonces realmente no tenemos un punto de inflexión en x igualados porque no hay un cambio de signo conforme pasamos de valores menores a x igualados y valores mayores a x igual a 2 la segunda derivada no cambia de signo así que esto es incorrecto no hay un punto de inflexión cuando x es igual a 2 porque la segunda derivada no cambia de signo al pasar por x 2 y eso significa que nuestra concavidad no
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