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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es familiarizarnos con la prueba de la segunda derivada y bueno antes de llegar a la parte central de este vídeo quiero que obtengamos una sensación intuitiva de lo que nos está diciendo la prueba de la segunda derivada así que para eso voy a dibujar los ejes por aquí supongamos que éste es mi eje x y éste por acá va a ser me he este es mi eje y éste es mi eje x y digamos que tengo una función que se ve más o menos así esta va a ser mi función algo más o menos así y bueno si observas esta función más o menos tiene un máximo relativo por aquí en el valor de x igual la cm es decir este es el punto y coma efe cm así que por acá tenemos en x el valor de cee y visualmente podemos ver que tenemos un punto local máxime en aquí tenemos un máximo relativo y entonces podemos usar nuestras herramientas de cálculo para pensar qué está pasando aquí en este punto bien una cosa que sabemos es que la pendiente de la recta tangente al menos en la forma en la que dibujado esto la pendiente de la recta tangente es igual a cero entonces podemos decir que f prima de s esto debe de ser igual a cero y otra cosa que podemos ver es que tenemos una concavidad hacia abajo en una vecindad claro alrededor de este valor x igual la cem entonces se noten que nuestra pendiente está constantemente decreciendo empieza siendo muy positiva es menos positiva aún menos positiva luego se vuelve a cero luego se vuelve negativa más negativa y aún más negativa por lo tanto podemos decir que efe mi prima de cm esto va a ser algo menor que cero está decreciendo y ojo todavía no ha hecho ninguna prueba matemática fondo pero parece ser que tenemos algo si tenemos un punto crítico donde x es igual la cem entonces efe prima de cm es igual a cero y además vemos que hay la segunda derivada es menor que cero entonces intuitivamente vamos a tener un valor máximo y ahora bien podemos ir en la situación contraria imagínate que yo me tomo una función que se vea más o menos así en donde tengamos un punto local mínimo también en el mismo valor para que sigua la cm déjame ponerlo estamos en el mismo valor estamos en el mismo valor y aquí tenemos nuestro punto local mínimo entonces nuestra primera derivada también va a ser igual a cero ya que la pendiente de la recta tan gente aquí en este punto sigue siendo cero entonces aquí tenemos que f prima de x esto va a seguir siendo cero pero ahora observa en este segundo caso tenemos una concavidad hacia arriba y la pendiente está creciendo constantemente tenemos una forma de un tazón que abra hacia arriba entonces aquí en el caso del que tenemos un mínimo relativo podemos decir que nuestra segunda derivada va a ser mayor que 0 no voy a poner aquí nuestra segunda derivada en este punto cm tiene que ser mayor que 0 y con esto visualmente vemos que tenemos un mínimo relativo y entonces esta intrusión que acabamos de crear con optimismo que nos dicen de la prueba de la segunda derivada bueno lo que nos dice lo siguiente imagínate que estás trabajando con una función doblemente diferenciable eso significa que durante cualquier intervalo es encontrar su primera y su segunda derivada definidas y digamos que en un punto equis igual hace encontramos que su primera derivada es igual a cero así que la pendiente de la recta tangente es igual a cero y no sólo eso la deriva de existen en una vecindad alrededor de este punto equis iguala cm y bueno la mayoría de las funciones con las que trabajamos es diferenciable en sem y tiende a ser diferenciable en una vecindad alrededor de ese valor de s y luego supongo que la segunda del ipade existe es doblemente diferenciable ya lo dijimos ahora bien podríamos estar trabajando con un punto máximo con un punto mínimo o podríamos no saber con lo que estamos trabajando podría no ser ni un punto máximo ni un punto mínimo pero usando la prueba la segunda derivada si sacamos la segunda derivada y vemos que esa segunda derivada es menor que cero como en este caso que tengo aquí entonces lo que podemos asegurar es que estamos trabajando con un máximo relativo con un punto máximo relativo en x iguala cm es decir estamos en este caso en el caso que teníamos en un inicio ahora si nuestra segunda derivada es mayor que 0 entonces estaríamos en este segundo caso en este caso de aquí tenemos una concavidad hacia arriba y en el fondo el tazón es donde la pendiente es igual a cero tenemos un punto mínimo relativo y si nuestra segunda derivada es igual a cero entonces no podemos decir nada al respecto estamos inconclusos no sabemos lo que realmente está pasando en ese punto por lo tanto no podemos hacer ninguna afirmación sólida y bueno ya que sabemos cómo funciona la prueba de la segunda derivada qué te parece si hacemos un pequeño y rápido ejemplo sólo para ver si esto está funcionando bien digamos no sé que tengo una función h sabemos que h de 8 es igual a 5 ok por otra parte sabemos que h prima de 8 esto es igual a cero y también sabemos que a chevy prim de 8 la segunda derivada evaluarán 8 esto es igual a menos cuatro ok ahora la pregunta es la siguiente dada esta información podemos decir que el punto 8,5 este punto de kim es un mínimo relativo es un máximo relativo o está inconcluso de matarlo este punto de aquí es un punto máximo relativo mínimo relativo o simplemente es inconcluso y bueno como siempre te invito a pausar el vídeo y que lo piensa un rato intenta encontrar la respuesta bueno nosotros estamos suponiendo que es una función doblemente diferenciable y pienso que es muy prudente suponer eso y por el bien de nuestro problema vamos a suponer que la derivada existen en una vecindad alrededor de x igual a 8 bien para este ejemplo se es igual a 8 entonces el punto 8,5 definitivamente está en la curva y también sabemos que las derivadas igual a cero así que estamos trabajando con un punto el cual nos dan alguno de estos tres escenarios y además sabemos que la segunda derivada es menor que cero esto es muy importante sabemos que en la segunda derivada de 8 esto es menor que cero y que nos está diciendo esto bueno lo que nos está diciendo es que caemos en este escenario que tenemos aquí así que sólo con la información que nos están dando podemos decir que el punto 8,5 es un valor máximo relativo es decir estamos trabajando con un punto máximo relativo y eso está muy bien ahora si de alguna manera nos dijeran que la segunda derivada a fuera igual a cero entonces podemos concluir que no tenemos la suficiente información que está inconcluso y si por alguna razón nos dijeran que la segunda derivada es mayor que cero entonces queríamos en este caso estaríamos trabajando con un valor mínimo relativo en el bueno x igual a 8
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