Criterio de la segunda derivada

lo que quiero hacer en este vídeo es familiarizarnos con la prueba de la segunda derivada y bueno antes de llegar a la parte central de este vídeo quiero que obtengamos una sensación intuitiva de lo que nos está diciendo la prueba de la segunda derivada así que para eso voy a dibujar los ejes por aquí supongamos que este es mi eje x y este por acá va a ser mi eje y este es mi hijo y este es mi y digamos que tengo una función que se ve más o menos así esta va a ser mi función algo más o menos así y bueno si observas esta función más o menos tiene un máximo relativo por aquí en el valor de xy wallace m es decir este es el punto y coma efe de ccm así que por acá tenemos en x el valor de ce y visualmente podemos ver que tenemos un punto local máximo aquí tenemos un máximo relativo y entonces podemos usar nuestras herramientas de cálculo para pensar qué está pasando aquí en este punto bien una cosa que sabemos es que la pendiente de la recta tangente al menos en la forma en la que he dibujado esto la pendiente de la recta tangente es igual a cero entonces podemos decir que f prima de c esto debe de ser igual a 0 y otra cosa que podemos ver es que tenemos una concavidad hacia abajo en una vecindad claro alrededor de este valor x igual hace entonces noten que nuestra pendiente está constantemente decreciendo empieza siendo muy positiva es menos positiva aún menos positiva luego se vuelve a cero luego se vuelve negativa más negativa y aún más negativa por lo tanto podemos decir que f be prima de sem esto va a hacer algo menor que es 0 está decreciendo y ojo todavía no he hecho ninguna prueba matemática a fondo pero parece ser que tenemos algo si tenemos un punto crítico donde x es igual a cm entonces efe prima de cm es igual a 0 y además vemos que hay la segunda derivada es menor que cero entonces intuitivamente vamos a tener un valor y ahora bien podemos ir en la situación contraria imagínate que yo me tomo una función que se vea más o menos así en donde tengamos un punto local mínimo también en el mismo valor para xy wallace m déjame ponerlo estamos en el mismo valor estamos en el mismo valor y aquí tenemos nuestro punto local mínimo y entonces nuestra primera derivada también va a ser igual a cero ya que la pendiente de la recta tangente aquí en este punto sigue siendo cero entonces aquí tenemos que f prima de x esto va a seguir siendo cero pero ahora observa en este segundo caso tenemos una concavidad hacia arriba y la pendiente está creciendo constantemente tenemos una forma de un tazón que abre hacia arriba entonces aquí en el caso en el que tenemos un mínimo relativo podemos decir que nuestra segunda derivada va a ser mayor que 0 lo voy a poner aquí nuestra segunda derivada en este punto se me tiene que ser mayor que 0 y con esto visualmente vemos que tenemos un mínimo relativo y entonces esta intención que acabamos de crear con optimismo que nos dice de la prueba de la segunda derivada bueno lo que nos dice lo siguiente imagínate que estás trabajando con una función doblemente diferenciable eso significa que durante cualquier intervalo puedes encontrar su primera y su segunda derivada definidas y digamos que en un punto x igual a c encontramos que su primera derivada es igual a cero así que la pendiente de la recta tangente es igual a cero y no sólo eso la derivada existe en una vecindad alrededor de este punto x igual a cm y bueno la mayoría de las funciones con las que trabajamos es diferenciable en cm y tiende a ser diferenciables en una vecindad de ese valor de ese y luego supongo que la segunda derivada existe es doblemente diferenciable ya lo dijimos ahora bien podríamos estar trabajando con un punto máximo o con un punto mínimo o podríamos no saber con lo que estamos trabajando podría no ser ni un punto máximo ni un punto mínimo pero usando la prueba de la segunda derivada si sacamos la segunda derivada y vemos que esa segunda derivada es menor que cero como en este caso que tengo aquí entonces lo que podemos asegurar es que estamos trabajando con un máximo relativo con un punto máximo relativo en x igual a cm es decir estamos en este caso en el caso que teníamos en un inicio ahora sí nuestra segunda derivada es mayor que cero entonces estaríamos en este segundo caso en este caso de aquí tenemos una concavidad hacia arriba y en el fondo del tazón es donde la pendiente es igual a cero tenemos un punto mínimo y si nuestra segunda derivada es igual a cero entonces no podemos decir nada al respecto estamos inconclusos no sabemos lo que realmente está pasando en ese punto por lo tanto no podemos hacer ninguna afirmación sólida y bueno ya que sabemos cómo funciona la prueba de la segunda derivada qué te parece si hacemos un pequeño y rápido ejemplo solo para ver si esto está funcionando bien digamos no sé que tengo una función h sabemos que h de 8 esto es igual a 5 ok por otra parte sabemos que h prima de 8 esto es igual a 0 y también sabemos que a chevy prima de 8 la segunda derivada evaluada en 8 esto es igual a menos 4 ahora la pregunta es la siguiente dada esta información podemos decir que el punto 8.5 este punto de aquí es un mínimo relativo es un máximo relativo o esté inconcluso dejan adaptarlo este punto de aquí es un punto máximo relativo mínimo relativo o simplemente es inconcluso y bueno como siempre te invito a pausar el vídeo y que lo pienses un rato intenta encontrar la respuesta bueno nosotros estamos suponiendo que es una función doblemente diferenciable y pienso que es muy prudente suponer eso y por el bien de nuestro problema vamos a suponer que la derivada existe en una vecindad alrededor de x igual a 8 bien para este ejemplo c es igual a 8 entonces el punto 85 definitivamente está en la curva y también sabemos que la derivada es igual a cero así que estamos trabajando con un punto el cual nos da algunos de estos tres escenarios y además sabemos que la segunda derivada es menor que cero esto es muy importante sabemos que la segunda derivada de 8 esto es menor que cero y que nos está diciendo esto bueno lo que nos está diciendo es que caemos en este escenario que tenemos aquí así que solo con la información que nos están dando podemos decir que el punto 85 es un valor máximo relativo es decir estamos trabajando con un punto máximo relativo y eso está muy bien ahora si de alguna manera nos dijeran que la segunda derivada no fuera igual a cero entonces podemos concluir que no tenemos la suficiente información que es inconcluso y si por alguna razón nos dijeran que la segunda derivada mayor que 0 entonces qué haríamos en este caso estaríamos trabajando con un valor mínimo relativo en bueno x igual a 8