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Analizar problemas que involucran razones de cambio en contextos aplicados

Gran parte del cálculo diferencial trata sobre la razón de cambio instantáneo. Veamos cómo puede usarse para resolver problemas del mundo real.
Una manera de interpretar la derivada f, prime de una función f es que f, prime, left parenthesis, k, right parenthesis es la razón de cambio instantáneo de f en x, equals, k. Vamos a ver cómo esta interpretación se puede utilizar para resolver problemas verbales.
Digamos que se está llenando un tanque de agua y el volumen, en litros, de agua en el tanque después de t segundos está dado por la función lineal V, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, t.
Se grafica la función V sub 1. El eje x, etiquetado como tiempo en segundos, va de menos 1 a 10. El eje y está etiquetado como volumen en litros. La gráfica es una recta. La recta comienza en (0, 0) y se mueve hacia arriba a través de (6, 4).
La pendiente de la función, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, representa su razón de cambio. En otras palabras, el tanque se está llenando a una tasa de start fraction, 2, divided by, 3, end fraction de litro por segundo.
La gráfica de la función V sub 1 comienza en (0, 0), se mueve hacia arriba a través de los puntos (3, 2) y (6, 4) y termina en el cuadrante 1. Una flecha que representa + 3 segundos se mueve hacia la derecha desde el punto (3, 2) hasta (6, 2). Una flecha que representa + 2 litros se mueve hacia arriba desde (6, 2) hasta el punto (6, 4).
La razón de cambio de una función lineal es siempre constante, lo que hace que pensar sobre su significado sea relativamente fácil.
Ahora digamos que se está llenando un tanque diferente, y esta vez la función de volumen V, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 1, t, squared no es lineal.
Se grafica la función V sub 2. El eje x, etiquetado como tiempo en segundos, va de menos 1 a 10. El eje y está etiquetado como volumen en litros. La gráfica es una curva. La curva comienza en (0, 0), se mueve hacia arriba a través de (3, 0.9) y (7, 4.9) y termina en el cuadrante 1.
Observa cómo el crecimiento de la gráfica es gradual al principio y se vuelve más empinada hacia el final. La tasa de cambio de V, start subscript, 2, end subscript no es constante.
Si queremos analizar la razón de cambio de V, start subscript, 2, end subscript, podemos hablar de su razón de cambio instantáneo en cualquier momento dado. La razón de cambio instantáneo de una función está dada por la derivada de la función.
V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 2, t
Por ejemplo, V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1. Matemáticamente, esto significa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de V, start subscript, 2, end subscript cuando x, equals, 5 es 1. ¿Qué significa esto en el contexto de nuestro tanque de agua?
La gráfica de la función V sub 2 tiene una recta tangente que empieza en el cuadrante 4, se mueve hacia arriba, toca la curva en (5, 2.5) y termina en el cuadrante 1.
La pendiente de la recta tangente indica la pendiente de la curva en ese punto particular en el tiempo. Puesto que ya vimos cómo la pendiente nos da la razón de cambio, podemos interpretar V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 como sigue:
En t, equals, 5 segundos, el depósito se está llenando a razón de 1 litro por segundo.
Observa un par de cosas sobre esta interpretación:
En primer lugar, la razón se da en litros por segundo. Las unidades de una derivada son siempre una relación de la cantidad dependiente (por ejemplo, litros) entre la cantidad independiente (por ejemplo, segundos).
En segundo lugar, la velocidad está dada para un punto específico en el tiempo (por ejemplo, t, equals, 5 segundos). Esto es porque es instantánea. Al tomar otro punto en el tiempo la razón podría ser diferente. Considera un intervalo de tiempo; ahí la razón no es constante.
Problema 1.A
En el problema 1 vamos a analizar el contexto siguiente:
Lindsay camina a casa desde la escuela. Su distancia a la escuela, en metros, después de t minutos está modelada por la función diferenciable D.
¿Qué unidades debemos usar para medir D, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
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Problema 2
H da la altura de un árbol, en centímetros, t semanas después de que se plantó.
A cuatro estudiantes se les pidió que interpretaran el significado de H, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 3 en este contexto.
¿Puedes hacer coincidir los comentarios del profesor con las interpretaciones?

Error común: olvidar incluir unidades o usar unidades incorrectas

Recuerda: al analizar problemas en contextos aplicados, no olvides que siempre debemos usar unidades.
Por ejemplo, en el problema 2, H tiene una entrada que se mide en semanas y da una salida que se mide en centímetros. Su derivada H, prime también tiene una entrada que se mide en semanas, pero su salida es la razón centímetros por semana.

Otro error muy común: usar frases que se refieren a "sobre un intervalo de tiempo" en lugar de "en un punto en el tiempo"

Las derivadas siempre tratan de razones de cambio instantáneas. Por lo tanto, al interpretar la razón de una función dado el valor de su derivada, debemos siempre referimos al punto concreto en el que se aplica esa razón.

Resolver problemas que involucran razones de cambio instantáneo

Considera el siguiente problema:
Carlos ha tomado una dosis inicial de una medicina de prescripción. La cantidad de medicamento, en miligramos, en la sangre de Carlos después de t horas está dada por la siguiente función:
M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 20, dot, e, start superscript, start superscript, minus, 0, point, 8, t, end superscript, end superscript
¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de la cantidad restante de medicamento después de 1 hora?
Lo primero que debe llamar nuestra atención al leer el problema es que se nos pide la razón de cambio instantáneo de una cantidad. Esto significa que necesitamos usar derivadas.
La única función cuya derivada podemos usar es M, pero asegurémonos de que esto es lo que queremos: M da la cantidad de fármaco en el torrente sanguíneo de Carlos con el tiempo, y nos preguntan por la razón de cambio instantáneo de esa cantidad. Así que sí, necesitamos M, prime:
M, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, point, 8, t, end superscript
Se nos pide la razón de cambio instantáneo después de 1 hora, lo que significa que necesitamos evaluar M, prime en t, equals, 1:
M, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, point, 8, end superscript, approximately equals, minus, 7, point, 2
Por último, tenemos que recordar utilizar unidades. Ya que M da una cantidad en miligramos para una entrada dada en horas, las unidades en que medimos M, prime son miligramos por horas.
En conclusión, la razón de cambio instantáneo de la cantidad restante de medicamento después de 1 hora es minus, 7, point, 2 miligramos por hora.
Problema 3
C da el costo en pesos de triturar w libras de documentos confidenciales de una empresa.
C, left parenthesis, w, right parenthesis, equals, 0, point, 001, w, cubed, minus, 0, point, 15, w, squared, plus, 7, point, 5, w
¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de los costos cuando el peso de los documentos es de 10 libras?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Error común: evaluar la función original en lugar de su derivada

Recuerda: cuando nos preguntan sobre la razón de cambio de una función f, queremos ver la derivada f, prime. Evaluar f en un punto no nos dará ninguna información sobre la razón de cambio de f en ese momento.

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