Ejemplo resuelto: problemas de movimiento con derivadas

una partícula se mueve sobre el eje x la función x dt indica la posición de la partícula en cualquier tiempo t mayor o igual que 0 aquí está la fórmula cuál es la velocidad de dt de la partícula ente igualados pausa en el vídeo y traten de responder por su cuenta aquí lo importante es darnos cuenta de que la velocidad es una función del tiempo y es la derivada de la posición calculamos la derivada con respecto a t de esta función la derivada de t al cubo con respecto a t estrés por t al cuadrado y si esto no les resulta familiar los invito a que repasen la regla de la potencia la derivada de -4 por t al cuadrado con respecto a t es menos 8 t la derivada de 3 t con respecto a t es más 3 y la derivada de una constante no cambia con respecto al tiempo por lo que es igual a cero con esto encontramos la función en velocidad con respecto al tiempo y si queremos conocer la velocidad de la partícula cuando t es igual a 2 simplemente sustituimos t por 2 en esta función lo que nos da 3 x 2 al cuadrado por 4 es 12 menos 8 por 2 es menos 16 mar 3 es igual a menos 1 y pueden pensar que este menos 1 no parece una velocidad pero si nos dijeran las unidades como que te está en segundos y equis en metros entonces la posición estaría en metros y la velocidad sería menos un metro por segundo también puede que se pregunten qué significa este signo negativo quiere decir que la partícula se mueve hacia la izquierda recordemos que ésta se mueve sobre el eje x si la velocidad es negativa significa que x disminuye y la partícula se mueve a la izquierda cuál es la aceleración adt de la partícula ente igual a 3 de nuevo pausa en el vídeo y traten de responder a esta pregunta en este caso tenemos que darnos cuenta de que la aceleración como función del tiempo es la derivada de la velocidad y a su vez es la segunda derivada de la posición va a ser igual a la derivada de esto la derivada de tres por t al cuadrado con respecto a t es igual a 6 por t la derivada de menos 8 t con respecto a t -8 y la derivada de la constante es 0 tenemos 68 la aceleración de la partícula cuando t es igual a 3 va a ser igual a 6 por 3 que es 18 menos 8 lo que nos da 10 positivo cuál es la dirección del movimiento de la partícula ente igual a 2 izquierda-derecha ninguna ya habíamos mencionado esto pero de todas maneras pausa en el vídeo piensen y respondan por su cuenta este signo de aquí indica la dirección de la partícula cuando tenemos un signo negativo en la velocidad significa que el movimiento es a la izquierda así que elegimos la opción ente igual a 3 la rapidez de la partícula incrementa disminuye o no cambia pausa en el vídeo y tratan de responder esta pregunta aquí debemos ser cuidadosos porque si el enunciado menciona que la velocidad de la partícula se incrementa disminuye o no cambia entonces sólo tendríamos que ver la aceleración y si la aceleración es positiva entonces habríamos que la velocidad está incrementando pero en el enunciado no preguntan por la velocidad sino por la rapidez y recordemos que la rapidez es la magnitud de la velocidad por ejemplo para t igualados la velocidad es menos 1 y si las unidades fueron metros y segundos sería menos un metro por segundo pero la rapidez es de un metro por segundo en la rapidez no nos interesa la dirección así que no tomamos en cuenta el signo así pues para saber si la rapidez incrementa o disminuye o no cambia si la aceleración es positiva y la velocidad es positiva entonces la magnitud de la velocidad incrementa lo que significa que la rapidez incrementa también si la velocidad es negativa y la aceleración también es negativa entonces quiere decir que también la rapidez incrementa pero si la velocidad y la aceleración tienen signos diferentes quiere decir que la rapidez disminuye pues va a disminuir la magnitud de la velocidad veamos la velocidad cuando t es igual a 3 usamos esta fórmula y nos queda 3 por 3 al cubo que es 7 - 24 3 todo esto es igual a 6 observamos los signos de la velocidad y la aceleración y notamos que son iguales podríamos decir que van en la misma dirección ya que ambos son positivos así que la velocidad se va a volver más positiva cada vez o también podemos decir que la magnitud de la velocidad va a incrementar así que la rapidez incrementa si la velocidad fuera negativa / igual a 3 entonces la rapidez disminuiría porque la velocidad y la aceleración irían en direcciones opuestas nos vemos en el siguiente vídeo