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Analizar problemas que involucran razones relacionadas

Los problemas de razones relacionadas son problemas verbales en los que razonamos sobre la razón de cambio de una cantidad al usar información que tenemos de la razón de cambio de otra cantidad que está relacionada con la primera. Vamos a familiarizarnos con esta clase de problemas.
Los problemas de razones relacionadas son problemas de aplicación donde encontramos la razón a la que una cantidad está cambiando, relacionándola con otras cantidades cuyas razones son conocidas.

Ejemplo resuelto de un problema de razones relacionadas

Imagina que nos dan el siguiente problema:
El radio r, left parenthesis, t, right parenthesis de un círculo crece a una razón de 3 centímetros por segundo. En cierto instante t, start subscript, 0, end subscript, el radio mide 8 centímetros.
¿Cuál es la razón de cambio del área A, left parenthesis, t, right parenthesis del círculo en ese instante?

Dar sentido a las cantidades y sus razones

En general, estamos lidiando con un círculo cuyo tamaño cambia en el tiempo. Hay dos cantidades referidas en el problema:
r, left parenthesis, t, right parenthesis es el radio del círculo después de t segundos, y se mide en centímetros.
A, left parenthesis, t, right parenthesis es el área del círculo después de t segundos, y se mide en centímetros cuadrados.
Un círculo tiene un radio etiquetado como r de t y un área etiquetada como A de t.
El problema también se refiere a las razones de estas cantidades. La razón de cambio de cada cantidad está dada por su derivada:
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis es la razón de cambio instantáneo a la cual cambia el radio del círculo al tiempo t, y se mide en centímetros por segundo.
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis es la razón de cambio instantáneo a la cual cambia el área al tiempo t, y se mide en centímetros cuadrados por segundo.

Dar sentido a la información dada

Nos dicen que el radio crece a una razón de 3 centímetros por segundo. Esto significa que start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 para cualquier valor de t.
También nos dicen que en cierto instante t, start subscript, 0, end subscript, el radio mide 8 centímetros. Esto significa que start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd. Observa que este caso solo es para t, start subscript, 0, end subscript, no para cualquier valor de t.
Finalmente, nos piden determinar la razón de cambio de A, left parenthesis, t, right parenthesis en el instante t, start subscript, 0, end subscript. Matemáticamente, buscamos start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.

Relacionar el área y el radio

Después de que hemos hecho sentido de las cantidades relevantes, debemos buscar una ecuación, o fórmula, que las relacione. En nuestro caso, las cantidades son el área y el radio de un círculo. Estas cantidades se relacionan por medio de la fórmula del área de un círculo:
A, equals, pi, r, squared

Derivar

Para encontrar start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10, necesitamos derivar de cada lado de la ecuación. Una vez que hayamos hecho esto, seremos capaces de relacionar start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 con otros valores conocidos, como start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54, que nos permitirá determinar start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.
Como no tenemos fórmulas explícitas para A, left parenthesis, t, right parenthesis y r, left parenthesis, t, right parenthesis, utilizaremos diferenciación implícita:
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A(t)=2πr(t)r(t)\begin{aligned} A(t)&=\pi [r(t)]^2 \\\\ \dfrac{d}{dt}[A(t)]&=\dfrac{d}{dt}\Bigl[\pi [r(t)]^2\Bigr] \\\\ \goldD{A'(t)}&=2\pi\blueD{r(t)}\greenD{r'(t)} \end{aligned}
Este es el núcleo de nuestra solución: al relacionar las cantidades (es decir, A y r), fuimos capaces de relacionar sus razones (es decir, A, prime y r, prime) por medio de diferenciación. ¡Esta es la razón por la que estos problemas se llaman "problemas de razones relacionadas"!

Resolver

Observa que la ecuación que obtuvimos es verdadera para cualquier valor de t, y específicamente para t, start subscript, 0, end subscript. Por lo tanto, podemos sustituir start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd y start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 en esa ecuación:
A(t0)=2πr(t0)r(t0)=2π(8)(3)=48π\begin{aligned} \goldD{A'(t_0)}&=2\pi\blueD{r(t_0)}\greenD{r'(t_0)} \\\\ &=2\pi(\blueD 8)(\greenD 3) \\\\ &=48\pi \end{aligned}
En conclusión, encontramos que en t, start subscript, 0, end subscript, el área crece a una razón de 48, pi centímetros cuadrados por segundo.
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por los pasos para analizar el siguiente problema:
La base b, left parenthesis, t, right parenthesis de un triángulo decrece a una razón de 13 start text, m, slash, h, end text, y la altura h, left parenthesis, t, right parenthesis del triángulo crece a una razón de 6 start text, m, slash, h, end text. En cierto instante t, start subscript, 0, end subscript, la base mide 5 start text, m, end text y la altura mide 1 start text, m, end text. ¿Cuál es la razón de cambio del área A, left parenthesis, t, right parenthesis del triángulo en ese instante?
Empareja cada expresión con sus unidades.
 
start text, m, end text
start text, m, slash, h, end text
start text, m, end text, squared
start text, m, end text, squared, start text, slash, h, end text
b, prime, left parenthesis, t, right parenthesis
A, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
h, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
start fraction, d, A, divided by, d, t, end fraction

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Error común: confundir cuáles expresiones son variables y cuáles son constantes

Como has visto, los problemas de razones relacionadas involucran múltiples expresiones. Algunas representan cantidades y otras representan sus razones. Algunas están cambiando, y otras son constantes.
Es importante que te asegures de que entiendes el significado de todas las expresiones y de que eres capaz de asignarles sus valores apropiados (cuando los conoces).
Te recomendamos realizar un análisis similar a aquellos mostrados en el ejemplo y en el conjunto de problemas 1: ¿cuáles son las cantidades relevantes? ¿Cuáles son sus razones? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuáles son sus valores?
Problema 2
Considera este problema:
Dos automóviles conducen hacia una intersección desde direcciones perpendiculares. La velocidad del primer automóvil es de 50, start text, space, k, m, slash, h, end text, y la del segundo automóvil es de 90, start text, space, k, m, slash, h, end text. En cierto instante t, start subscript, 0, end subscript, el primer automóvil está a una distancia x, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 0, point, 5, start text, space, k, m, end text de la intersección y el segundo automóvil está a una distancia y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 1, point, 2, start text, space, k, m, end text de la intersección. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia d, left parenthesis, t, right parenthesis entre los automóviles en ese instante?
¿Cuál ecuación debe usarse para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:
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Error común: seleccionar una ecuación que no representa el problema dado

Como has visto, la ecuación que relaciona todas las cantidades juega un papel fundamental en la solución del problema. Usualmente es útil tener alguna clase de diagrama con todas las cantidades relevantes que describa la situación. Consideremos el problema 2. Este problema describe un triángulo rectángulo.
Se forma un triángulo rectángulo entre la intersección, el primer automóvil y el segundo automóvil. El ángulo recto está en la intersección. El cateto que va al primer automóvil está etiquetado como x de t. El cateto que va al segundo automóvil está etiquetado como y de t. La hipotenusa, entre los automóviles, mide d de t.
El diagrama clarifica que la ecuación que buscamos relaciona los tres lados del triángulo. Esto lo podemos lograr usando el teorema de Pitágoras:
open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, equals, open bracket, x, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, plus, open bracket, y, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared
Sin el diagrama, podemos tratar accidentalmente a d, left parenthesis, t, right parenthesis como si fuera el área del triángulo...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
...o tratar a x, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis y d, left parenthesis, t, right parenthesis como si fueran los tres ángulos del triángulo...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, x, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 180
...o tal vez tratar a d, left parenthesis, t, right parenthesis como si fuera un ángulo y formara alguna ecuación trigonométrica.
tangent, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction.
Todas estas ecuaciones podrían ser útiles en otros problemas de razones relacionadas, pero no para el problema 2.
Problema 3
Considera este problema:
Una escalera de 20 metros se apoya contra una pared. La distancia x, left parenthesis, t, right parenthesis entre la parte baja de la escalera y la pared crece a una razón de 3 metros por minuto. En cierto instante t, start subscript, 0, end subscript, la parte alta de la escalera está a una distancia y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis de 15 metros del suelo. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo theta, left parenthesis, t, right parenthesis entre el suelo y la escalera en ese instante?
¿Cuál ecuación debe usarse para resolver el problema?
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¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.