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Introducción a la derivación de funciones relacionadas

A veces tenemos una ecuación que relaciona dos funciones de la misma variable. Por medio de la regla de la cadena, podemos encontrar las derivadas de esas funciones con respecto a esa variable.

Transcripción del video

nos dicen las funciones diferenciables x y james están relacionadas por la siguiente ecuación james es igual a la raíz cuadrada de x y esto es bastante interesante porque aquí ambas funciones tanto x como james son funciones diferenciables incluso x es una función ojo debe de ser una función de algo más y después nos dicen además la derivada de x con respecto a t es igual a 12 y nos preguntan encuentran la derivada de ye con respecto a tema cuanto x es igual a 9 así que antes de empezar déjame ver si estamos seguros de que entendemos el problema nos dicen que tanto x como jim estas dos son funciones ambas son funciones de temp y puedes ver que es una función de x pero x es una función del tiempo y por lo tanto podemos decir que james es una función del tiempo una forma de verlo es la siguiente vemos que x es una función del tiempo ok y sabemos que ya es igual a la raíz cuadrada de x bueno entonces puedo decir que ya es igual a la raíz cuadrada de esta función del tiempo ok ahora esa es una forma de verlo otra forma de verlo es la siguiente si tú tienes a t ok y lo metes en la función efe lo que vas a obtener es a equis y sea esta x ahora la metes en esta función llamada raíz cuadrada estará aquí entonces lo que obtienes es a jr y por lo tanto si ves todo esto como una caja grandota entonces podemos decir que es una función de ok así que ahora vamos a responder nuestra pregunta y para responderla tenemos que aplicar la regla de la cadena y la regla de la cadena lo que nos dice es que la derivada de con respecto a t que es justo lo que buscamos déjame escribirlo es igual a la derivada de que con respecto a x por la derivada de x con respecto al tiempo ok entonces vamos a tener que la derivada de jeff con respecto a t va a ser igual a la derivada de con respecto a x ok pero sabemos que james es igual a la raíz cuadrada de x o lo podemos escribir como que james es igual a x elevado a la un medio y ahora sí si queremos la derivada de ye con respecto a x ahora podemos utilizar la regla de la potencia es decir esta derivada va a ser igual a bajamos la potencia y me queda un medio que multiplica a x elevado a la menos 1 medio ok vamos a escribirlo por acá un médium que multiplica a x elevado a la menos un médium ok y esto que va a multiplicar a la derivada de x con respecto al tiempo la derivada de x con respecto a tm ok entonces lo que nosotros queremos es la derivada de con respecto al tiempo que es justo lo que tenemos aquí y esto va a ser igual déjame ponerlo va a ser igual y ahora observa nos dan el dato de cuánto vale la derivada de x con respecto a temps me dicen que es 12 entonces lo voy a poner aquí y me dicen que x vale 9 por lo tanto lo voy a poner aquí sustituyendo sus valores me va a quedar que un medio que multiplica a 9 porque es lo que vale x x vale 9 elevado a la menos un medio la derivada de que es con respecto a t que por cierto me dicen que es 12 esto va a ser igual a la derivada del yen con respecto al ok ahora hay que resolver esto pero es muy sencillo porque sabemos que el 9 elevado a la un médium es 3 entonces 9 elevado a la menos un medio esto es lo mismo que un tercio tercio ok ir se multiplicó un medio por un tercio bueno eso me queda un sexto entonces esto va a ser igual a tener como denominador a seis y como numerador bueno a 12 a 12 entonces esto me va a quedar igual a 12 entre 6 lo cual es 2 y de lujo este es el resultado que buscábamos es decir la derivada de ye con respecto al tema cuando x toma el valor de 9 y cuando la derivada de x con respecto a tema es igual a 12 hasta la próxima