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Razones de cambio relacionadas: escalera que cae

Estás sobre una escalera. Su parte inferior comienza a deslizarse. En medio del pánico, te das cuenta que este es un excelente problema de razones de cambio relacionadas... Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

tenemos una escalera de 10 pies recargada sobre la pared pero se encuentra sobre una superficie resbaloso por lo cual empieza a deslizarse hacia afuera y justo en este momento que estamos viendo la escalera la base de la escalera se encuentra a 8 pies de la base de la pared y está resbalándose hacia afuera a 4 pies por segundo suponemos que la parte superior de la escalera se mantiene en contacto todo el tiempo con la pared mientras latvala hacia abajo y aquí vemos la flecha indicando que resbala hacia abajo y la pregunta que se plantea aquí es qué tan rápido está cayendo la escalera en ese momento consideremos primero entonces que conocemos y que no conocemos conocemos la distancia de la base de la pared a la base de la escalera ya me molesta a distancia x así es que x es igual a 8 pies y también conocemos la razón a la que cambia esa distancia con respecto al tiempo de x en dt así que de x en de t es igual a 4 pies por segundo llamémosle a la distancia entre la punta de la escalera y la base de la pared ya me molesta a distancia h lo que se nos pide en este problema es entonces de h en de t dado que conocemos esta información encontremos entonces una expresión que relacione x con h para poder derivar entonces con respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena para encontrar de hdt sabiendo toda esta información bien sabemos que xy h se relaciona en todo el tiempo a través del teorema de pitágoras suponemos que aquí tenemos un ángulo recto así es que x cuadrada más h cuadrada es igual a el cuadrado de la longitud de la escalera que es igual a 7 y lo que nos interesa es la razón a la que esto cambia con respecto al tiempo es decir vamos a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados de esta igualdad necesitamos aquí entonces algo de derivación implícita tomamos entonces la derivada con respecto a t es cuadrada la cual es derivada de x cuadra con respecto a x2 x por la derivada de x con respecto al tiempo de x en dt y aquí estamos usando la regla de la cadena veámoslo la derivada de x cuadrada con respecto a x2 x x de x en de t estamos aplicando la regla de la cadena para llevar x cuadrada con respecto a t de manera análoga la derivada con respecto a tdh cuadrada va a ser igual 2 h que la derivada de h cuadrada con respecto a h por la derivada de h con respecto a t 'estamos aplicado en la regla de la cadena veámoslo de nuevo esto es la derivada de h cuadrada con respecto a che es 2 h por la derivada de h con respecto a t estamos derivando h cuadrada con respecto al tiempo que tenemos del lado derecho bueno la longitud de nuestra escalera no va a cambiar con respecto al tiempo por lo cual es 0 la derivada de una constante y ya la tenemos una relación entre la razón de cambio de h con respecto al tiempo razón de cambio de x con respecto al tiempo cuando conocemos en un momento dado el valor de x y el valor de h y aunque no conocemos el valor de h lo podemos encontrar cuando x es igual a 8 pies usando el teorema de pitágoras así es que aquí tenemos que 8 al cuadrado más h al cuadrado es igual a 78 al cuadrado es igual a 64 y restando 64 ambos lados obtenemos que h cuadrada es igual a 36 obtenemos entonces que h es igual a 6 tiene que ser el valor positivo porque el valor negativo no había sentido aplicaría que la escalera cayera más abajo del piso por lo cual h es igual a 6 y esto es algo que de alguna manera ya estaba dado por el problema podemos regresar entonces a la ecuación que obtuvimos aquí conocemos el valor de x nos fue dado es de 8 pies conocemos la tasa a la que cambia x con respecto al tiempo que es 4 pies por segundo acabamos de calcular h que es igual a 6 y podemos entonces despejar para encontrar la tasa a la que cambia h con respecto al tiempo hagamos eso tenemos entonces que es 2 8 pies por la tasa de cambio h con respecto al tiempo que es 4 pies por segundo cambia a razón de 4 pies por segundo esto hace 2 por 8 por 4 + + 2 por el valor de h que es 6 la altura en esos momentos es 6 por la tasa a la que cambia h con respecto a t y todo esto va a ser igual a cero tenemos entonces que 2 por 8 por 4 va a ser igual a 64 más 2 por 6 12 de h dt esto es igual a 0 restando 64 ambos lados tenemos que 12 x de hdt va a ser igual a menos 64 menos 64 dividiendo entre 12 ambos lados tenemos que de hdt vamos a ponerlo por acá de h en d te va a ser igual a menos 64 sobre 12 de hdt es igual a menos 64 doceavos simplificamos esto y esto nos va a dar a menos 16 tercios y esto es igual a de cambiar un poco a la derecha es igual a menos 52 un tercio pies por segundo y hemos terminado chequeamos nada más si ese sentido este signo menos con la realidad bueno aquí nuestra escalera está cayendo la distancia al piso se está cortando es decir si hace sentido ese signo menos en la tasa de cambio con respecto al tiempo hemos terminado