Razones relacionadas: globo

estás viendo una exhibición de globos aerostáticos y estás interesado en saber a qué velocidad se está elevando un globo aerostático específico para esto cuentas con cierta información conoces el punto preciso desde donde inició su despegue este globo aerostático subió verticalmente y también sabes pues lo me diste que estás ubicado a 500 metros del punto de despegue estás ubicado a 500 metros del punto de despegue y también has podido medir el ángulo de elevación desde tu posición hacia el globo aerostático hay instrumentos para eso no sé un teodolito o algún tipo de dispositivo electrónico no soy especialista en esto pero bueno pudiste medir este ángulo con respecto al horizontal el ángulo de elevación del globo aerostático y sabes que es y sobre cuatro radiales o 45 grados vamos a dejar la medida en radiales pues cuando tomamos derivadas de funciones trigonométricas se supone que el ángulo está medido en radiales y también sabes razón a la que este ángulo está cambiando este ángulo cambia entonces cambia a 0.2 radiales por minuto 0.2 radiales por minuto y la pregunta que quiere responder mientras ves el globo es a qué velocidad se está elevando el globo aerostático en ese momento cuando el ángulo de elevación este ángulo que forma la horizontal y la línea de visión del globo aerostático es y sobre 4 radiales y está cambiando a razón de 0.2 radiales por minuto tenemos entonces que sabemos y que nos están preguntando pero conocemos que el ángulo teta es igual a ti cuartos radiales este ángulo aquí le estoy llamando teta teta igual aquí cuartos y también conocemos la razón a la que cambia este ángulo teta voy a ponerlo aquí pues al amarillo de teta en dt es igual a 0.2 radiales por minuto y que queremos encontrar queremos encontrar la razón a la cual la altura del globo aerostático está acá y la razón a la cual se está elevando el globo y si le llamamos esta altura h entonces lo que queremos encontrar es de h en de t es la pregunta cuánto es de h en de te queremos obtener entonces una relación entre de hdt detecta en dt y quizás theta si es que la necesitamos otra manera de ver esto es si obtenemos una relación entre h y theta la derivamos con respecto al tiempo podemos obtener una relación entre esto que tenemos aquí entonces cuál es la relación entre theta y h bueno si hacemos trigonometría básica aquí sabemos que este cateto es opuesto a teta y este acá es el adyacente a teta sabemos qué cateto opuesto y cateto adyacente se relacionan a través de la tangente del ángulo escribamos lo por acá tangente de teta la tangente de tdt es igual al cateto opuesto que es h este es el cateto opuesto tangente de teta es igual a h sobre el cateto adyacente no cambia es igual a 500 ya tenemos entonces la relación entre theta y h y ahora para obtener una relación entre teta de teta de hdd perdón teta de tdt la deriva de teta con respecto al tiempo y la derivada de h con respecto al tiempo lo que tenemos que hacer es derivar esta expresión implícitamente con respecto a que hagámoslo dejar de mover h sobre 500 para que pueda tener espacio y te pueda mostrar el operador de hdt respecto ya está entonces vamos a tomar la derivada con respecto al tiempo a ambos lados de en dt de la tangente de teta es igual a de en dt de h sobre 500 cuál es entonces la derivada con respecto a t d tangente de teta bueno vamos a aplicar aquí la regla de la cadena primero tomaremos la derivada de tangente de teta con respecto a z la ayuda de tangente de 30 con respecto a teta es secante cuadrada de teta y eso por la derivada de teta con respecto al tiempo de teta en de t aquí estamos recordemos aplicado largo de la cadena estamos derivando algo una función seca no perdón estamos derivando tangente de algo con respecto a ese algo por la derivada de ese algo con respecto al tiempo a ver veamos la derivada de tangente de teta con respecto a teta por la derivada de teta con respecto a t nos da la derivada de tangente de teta con respecto a t que lo que queremos cuando indicamos con este operador queremos tomar la derivada con respecto a t y no tan sólo la derivada con respecto a eta ya tenemos entonces el lado izquierdo desde igualdad vamos a tomar la derivada con respecto a t en el lado derecho privada con respecto a tdh sobre 500 va a ser simplemente 1 sobre 500 por dh en de t la derivada de h sobre 500 con respecto a t es simplemente 1 sobre 500 de hdt y aquí lo tenemos ya tenemos una expresión que relaciona la razón a la que cambia la alto con respecto a ti con la razón a la que cambia el ángulo con respecto a ti y con el ángulo si sustituimos estos valores en la expresión podemos despejar entonces de h en dt hagamos entonces eso hagámoslo por acá tenemos que se cante cuadrada de teta es secante cuadrada de pi cuartos y cuarto 2 lo va a poner mejor con el color que tenemos de los datos que sería secante cuadrada de iu cuartos y eso que multiplica a de tdt que es 0.2 entonces por 0.2 y esto es igual a es igual a 1 sobre 500 y sólo para asegurarnos esto lo tenemos en radiales por minuto entonces de hdt va a estar en metros por minuto simplemente para checar no puse las unidades aquí por espacio pero estamos verificando que si se caen las unidades entonces uno sobre 500 que multiplica aa dh en dt ahora para despejar de hdt multiplicamos ambos lados de la ecuación por 500 y tenemos la razón a la que cambia la altura va a ser igual a 500 por secante cuadrada de pi cuartos esto es 1 sobre con seno cuadrado de pi cuartos pueda calcular coseno clavet y cuartos por acá que tenemos coseno de pi cuartos es igual a raíz sobre 2 entonces coseno cuadrado de pi cuartos es igual raíz de 2 al cuadrado es 2 y 2 al cuadrado es 4 esto es igual a 2 cuartos que es igual a un medio entonces secante cuadra de ti cuartos va a ser igual a 1 sobre eso va a ser igual a 2 entonces sustituyendo por acá esto va a ser igual déjame reescribir esto voy a abordar esto de aquí entonces que tenemos aquí que la secante cuadrada de pi cuartos secante quad y cuartos esto va a ser igual a 2 por lo que calculamos y esto multiplicado por 0.2 así que aquí tenemos 500 por 0.4 escribamos esto esto es igual a 500 por el punto por 0.4 y esto es igual a deja ver 4 por 500 es 2000 corremos el punto decimal un lugar obtenemos 200 perfecto entonces la razón a la que cambia la altura con respecto al tiempo es igual a 200 metros minutos aquí tenemos que de hdt es igual a 200 metros por minuto