Razones de cambio relacionadas: automóviles que se aproximan

tenemos que este auto se aproxima a una intersección a 60 millas por hora y en este momento en este preciso momento se encuentra a 0.8 millas de dicha intersección ahora en ese momento también un camión se aproxima a la misma intersección por una calle que es perpendicular a la calle donde viene el auto y se encuentra ubicado a una distancia de 0.6 millas de la intersección aproximándose a la intersección a una velocidad de 30 millas por hora y la pregunta es cuál es la tasa a la cual la distancia entre el auto y el camión está cambiando y para responder a eso hay que tomar en cuenta lo que nos están preguntando no están preguntando la razón a la que cambia la distancia del auto al camión en el momento en que el auto se encuentra a punto ocho millas de la intersección el camión se encuentra a punto seis millas de la intersección el camión va a 30 millas por hora y el auto viajando a 60 millas por hora cuál es la razón a la que cambia esta distancia esta distancia que tenemos aquí entre el auto y el camión esta distancia va cambiando designamos la con una variable la variable es lo que queremos encontrar entonces es en este momento a que es igual de ese en dt veamos entonces que conocemos para encontrar o calcular cuál es el valor de bs en dt bueno conocemos la distancia del auto a la intersección llamémosle a esa distancia la distancia que entonces es igual a 0.8 millas vamos a ponerlo por acá abajo y es igual a 0.8 millas me jazz y también sabemos la velocidad es decir de yen de t la razón a la que cambia la distancia y con respecto al tiempo es a sabemos que es igual a 60 millas pero considerando que el auto se está acercando a la intersección éste es igual a menos 60 millas por hora de manera análoga llamémosle a esta distancia x x va a ser igual a 0.6 millas vamos a ponerlo aquí x es igual a 0.6 millas y de x en dt la velocidad del camión es 30 millas por hora es un dato que nos dan pero considerando que la distancia del camión a la intersección está disminuyendo entonces de x en dt es igual a menos 30 millas por hora así pues conocemos lo que es lo que es x lo que desde yen dt lo que desde x en dt lo que necesitamos entonces es encontrar una relación entre que x y s para que derivamos esa expresión con respecto al tiempo así es que aparentemente tenemos todo lo que necesitamos para encontrar de ese en dt cuál es entonces esa relación entre x xi y s bueno aquí tenemos un ángulo recto las calles son perpendiculares así es que podremos aplicar el teorema de pitágoras cuadrada más cuadrada es igual a ese cuadrado podemos entonces derivar con respecto al tiempo ambos lados para establecer relaciones entre los elementos que ya obtuvimos aquí entonces la derivada de x cuadrada con respecto a te va a ser la viva de x cuadra con respecto a x que es 2 x 2 x por la ayuda de x con respecto a t que es de x en de t estamos aplicando en nueva cuenta la regla de la cadena estamos derivando x cuadrada con respecto a x y aquí x con respecto a t lo mismo hacemos para y la llevada de cuadrar con respecto al primo derivamos yeguada con respecto a y que va a ser 2 que multiplica de y en de t la misma regla y la cadena y del lado derecho hacemos lo mismo el mismo argumento derivada de ese cuadra con respecto a ese es 12 s por la derivada de s con respecto a t se hace hincapié que hemos aplicado en toda la expresión la regla de la cadena y de esta expresión conocemos x conocemos de x en de te conocemos ya conocemos de jane de t lo único que estamos calcular ss para encontrar finalmente de ese en dt la razón a la que esta distancia cambia con respecto al tiempo entonces cuánto vale s en este momento bueno podemos usar el teorema de pitágoras sabemos que lleva al punto 8x vale punto seis vamos a calcularlo por acá abajo esto va a ser igual a punto 6 al cuadrado más punto 8 al cuadrado eso es igual a ese cuadrada punto 6 al cuadrado es punto 36.8 al cuadrado es igual a punto 64 esto tiene que ser igual a ese cuadrada esto nos va a dar uno igual s cuadrada sólo queremos la distancia positiva así es que ese es igual a 1 ya sabemos entonces lo que es ese sustituyamos entonces todos estos valores para encontrar lo que nos están pidiendo de ese en dt que tenemos aquí 2 por equis y lo voy a hacer en amarillo 2 por x es 2 por 0.6 que es 1.2 por de x en de teques menos 30 millas por hora más por punto 8 que es 1.6 por de yen de té que es menos 60 millas por hora y no estoy poniendo unidades aquí pero todas las distancias son en millas todas las razones de cambio las velocidades son en millas por hora de tal manera que cuando hagamos estas operaciones vamos a obtener que descendente va a estar en millas por hora te invito a que los cheques te invito a que verifique es esto de las unidades y esto va a ser igual a 2 por s es igual a 1 va a ser igual entonces a 2 de s en dt que lo que queremos encontrar que tenemos entonces del lado izquierdo del lado izquierdo tenemos 1.2 x menos 30 esto es igual a menos 36 la quinta parte de 36 esto es menos 36 más 1.6 x menos 60 esto me da menos 96 y esto es igual a 2 de ese ente del lado izquierdo que tenemos menos 36 menos 96 es igual a menos 132 y esto va a ser igual a 2 con respecto al tiempo dividiendo ambos lados entre dos nos va a dar del lado izquierdo menos 66 ya podemos poner las unidades aquí millas por hora y esa es la tasa a la cual la distancia está variando con respecto al tiempo así que descendente es igual a menos 66 millas por hora y es correcto el signo negativo que tenemos aquí por supuesto esta distancia se está cortando a medida que los vehículos se acercan a la intersección