Razones relacionadas: sombra

estamos en medio de la noche y un ave rapaz nocturna quizá este es un búho está a punto de ir por su cena y este que tenemos aquí es un ratón un ratón y está clavándose en línea recta cerca de un farol veamos que información tenemos para este problema el farol que tenemos aquí tiene una altura de 20 pies 20 pies es entonces la altura de este farol y en este preciso momento aunque mi dibujo nuestra escala el búho se encuentra directamente arriba del ratón a una altura de 15 pies el búho se encuentra a 15 pies por encima del ratón y el ratón se encuentra déjame indicar esto a 10 pies de la base del farol a 10 pies de la base del farol y también sabemos tenemos un radar puesto que en este momento el búho en picada hacia el ratón a una velocidad de 20 pies por segundo así que en este momento el búho baja a 20 pies por segundo ahora lo que nos interesa es que el farol emite la luz en todas direcciones al emitir la luz hacia todos lados proyecta la sombra del búho que se encuentra aquí de tal manera que cuando el búho va en picada su sombra va a ir moviéndose hacia la izquierda entonces la pregunta es dado todo esto que tenemos aquí a qué razón se está moviendo la sombra veamos entonces que conocemos y que no conocemos y para esto fijemos algunas variables déjame dibujar esto de aquí un poquito más geométricamente entonces aquí tenemos el farol de altura 20 pies luego por aquí tenemos la altura a la que se encuentra el búho sobre el ratón la altura en la que se encuentra el búho que es de 15 pies esta que tenemos aquí representa la distancia del ratón al farol que es de 10 pies y para ubicar la sombra pensemos en esta luz que se emite en todas las direcciones aquí es bloqueada por el wall para proyectar la sombra hacia el piso así es que si dibujamos una línea recta de la fuente de luz que pasa por el búho y llega al piso ahí ubicaremos la sombra aquí la tenemos entonces una línea recta que representa el rayo de luz pasa por el búho llega al piso y aquí está la sombra ahí está la sombra y tenemos que calcular qué tan rápido qué tan rápido se está moviendo esa sombra hacia la izquierda establezcamos entonces algunas variables por aquí que sabemos bueno la altura del búho está cambiando la altura algo está cambiando llamémosle y en estos momentos es 15 pero es una variable que está cambiando y a la distancia entre la sombra y el ratón que también está cambiando vamos a llamarle x x va a designar la distancia entre la sombra y el ratón ahora a partir de esta figura que tenemos aquí queremos establecer una relación entre xy lo que queremos obtener al final de cuentas es cuál es la razón a la que cambia x con respecto al tiempo conocemos y también conocemos de i ended y así una vez que tengamos la relación la vamos a derivar con respecto al tiempo para obtener al final de cuentas de x en de t para cualquier instante de tiempo bueno estos dos triángulos que tenemos aquí déjame marcarlos para que quede claro cuáles son los dos triángulos este pequeño triángulo que estoy dibujando en verde este pequeño triángulo es semejante a este otro triángulo más grande este que estoy dibujando en azul estos dos son triángulos semejantes y como sé que son triángulos semejantes bueno aquí tenemos un ángulo recto en ambos tenemos un ángulo recto este ángulo lo tienen como por lo cual tienen tres ángulos iguales este ángulo tiene que ser igual a éste así que estos triángulos son semejantes lo cual implica que la razón que se tiene entre lados correspondientes debe ser idéntica por lo que entonces la razón de x allí la razón de x allí tiene que ser igual a la razón de esta base del triángulo mayor que es x más 10 a la altura del triángulo mayor que es igual a 20 y aquí tenemos una relación entre xy y si tomamos la derivada con respecto al tiempo obtendremos lo que estamos buscando pero antes de que obtengamos la derivada con respecto al tiempo lo podríamos hacer pero es mejor simplificar así que hagamos la multiplicación cruzada de los denominadores para simplificar esta expresión multiplicamos entonces ambos lados por 20 y para deshacernos de los denominadores entonces del lado izquierdo la aie se simplifica y nos resulta 20 x esto va a ser igual y del lado izquierdo nos queda perdón del lado izquierdo que da 20 x y del lado derecho resulta 20 y 20 se simplifica y queda x más 10 x + 10 y ya puedo derivar ambos lados con respecto al tiempo del lado izquierdo que tenemos la derivada de 20 algo con respecto al tiempo es la derivada de 20 algo con respecto a algo la ayuda de 20 x con respecto a x es 20 por la derivada de x con respecto al tiempo que es de x en dt y del lado derecho que tenemos aquí vamos a tener que aplicar la regla el producto va a ser la derivada de x con respecto al tiempo la derivada de x con respecto al tiempo va a ser de x en dt x qué más x por la derivada de con respecto al tiempo que es simplemente dejé en de t más la derivada de 17 con respecto a la ayuda de 10 con respecto a tener la ayuda de 10 con respecto a ley que es 10 por la derivada de ye con respecto a t que es simplemente deje en dt y ya lo tenemos ya tenemos una relación entre de x dt de jane de x y veamos si tenemos todo lo que necesitamos está de aquí de x en dt es lo que queremos encontrar por aquí también lo tenemos esto lo que estamos buscando está ya la conocemos y dejen de 'the legend dt aquí la tenemos y por convención como la distancia se está cortando ésta sería menos 20 conocemos de jane de t entonces aquí también tenemos otro de jane de t si conocemos el valor de x podemos encontrar entonces cuánto vale x en ese momento bueno vamos a encontrarlo de esta expresión podemos encontrarlo aquí pero ésta está más simplificada así es que nos va a ser más fácil encontrar el valor de x para después encontrar de x en dt en esta expresión calculemos lo por aquí sería 20 x va a ser igual a equis porque que en este momento vale 15 x por 15 más recordemos podemos haberlo calculado de la expresión anterior pero es mucho más fácil en esta que tenemos aquí abajo entonces x por 15 más 10 10 x 15 entonces deja de ver si lo hice bien 20 x 15 x 10 x 15 10 x 15 si está correcto entonces que tenemos aquí 20 x es igual a 15 x más 150 restándole 15 x ambos lados nos resulta 5 x del lado izquierdo es igual a 30 no no no estoy adelantando me 5 x es igual a 150 con lo cual x es igual a 30 x es igual a 30 pies en ese momento el valor de x es 30 pies entonces regresando en nuestro diagrama original esta distancia de aquí es igual a 30 pies sustituyamos entonces los valores en esta expresión para encontrar el valor de the x en dt entonces que tenemos no va a ser por acá tenemos 20 que multiplica de x ende te lo voy a poner en rosa de x en dt y esto es igual a de x en dt que multiplica a 10 y que vale 15 pies entonces de x en dt por no no me gusta ese color por 15 más el valor de x que vimos que es igual a 30% de 'the legend de test de yens dt es igual a menos 20 el búho trabajando en ese momento en ese momento el búho está bajando por su cena por lo cual de jane dt es igual a menos 20 entonces 30 por menos 20 más 10 degen de 10 x 20 pies por segundo despejemos entonces de x el dt que tenemos 20 de x en dt no mejor mira voy a restar 15 de x en dt de ambos lados entonces del lado izquierdo me quedaría 5 de x en de t 20 menos 15 es igual a 5 de x en dt eso queda del lado izquierdo esto va a ser igual a aquí que tenemos 30 x menos 20 30 x menos 20 es igual a menos 600 y este otro término es 10 x menos 20 que es igual a menos 200 menos 600 más menos 200 es igual a menos 800 pies por segundo de hecho si esto va a estar en pies por segundo dividiendo ambos lados entre 5 que tenemos de x en de te va a ser igual 5 por 16 es igual 80 así de x tendentes igual a menos 160 pies por segundo y hemos terminado hemos encontrado entonces que las sombras se están moviendo a una velocidad muy muy grande sombra se está moviendo hacia la izquierda x está disminuyendo aquí tenemos el signo negativo las sombras se están moviendo hacia la izquierda se está acercando al ratón a una velocidad sorprendente