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Contenido principal
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Transcripción del video

casi en todo lo que hemos hecho hasta ahorita en cálculo hemos usado límites haber dejar como por aquí límite fgv hemos usado límites para determinar derivadas de funciones derivadas de funciones de hecho la definición de derivada usa la noción del límite es la pendiente alrededor de un punto conforme tomamos puntos más y más cercanos al punto en cuestión vaya me tengo que decirte la verdad porque ya lo hemos visto muchas veces antes en este vídeo vamos a hacer lo opuesto es decir vamos a usar derivadas de derivadas para encontrar límites para encontrar límites ok estos van a ser límites que caigan en ciertas formas indeterminadas y con esto de forma que en determinadas me refiero a que al tomar el límite acabamos con algo del estilo puesto 11 0 en 30 o bien algo del estilo infinito entre infinito o bien los infinito entre infinito o vaya a cualquier cosa del estilo más menos infinito entre más menos infinito cualquiera de éstas es una forma indeterminada vale ahora sí vamos a la nueva herramienta para resolver este tipo de límites usaremos una cosa que se llama la regla del hopital voy a poner aquí lo pital la regla de lop y tal en este video lo que quiero contarte es que dice la regla del hospital y cómo se usa en realidad es muy sencilla pero es una herramienta superpoderosa incluso para competencias de cálculo a veces te ponen límites que acaban en una de estas formas de las de acá y es casi seguro que quieren que utilices lo pitan pero bueno tiene una prueba muy difícil quizás en otro video la demuestre lo cual es un poco más datos o pero ahorita nos limitaremos a las aplicaciones que son bien directas entonces lo que dice la regla del hospital es lo siguiente dice son varias hipótesis fíjate número uno lo va a poner todo muy abstracto y ahorita cuando veamos algunos ejemplos va a quedar más claro pero entonces dice que si el límite de cuándo x tiende a c d e f dx es igual a cero si es igual a cero y límite de cuándo x tiene hace deje de x es igual a cero también y otra cosa más esta es otra hipótesis y además el límite de cuándo x tiende a c de un cociente df prima de equis entre g prima de x es igual a cierta constante es decir existe y es igual a l entonces si todas estas condiciones o bien hipótesis se satisfacen el caso cero en 30 si se satisfacen entonces entonces podemos decir que el límite de cuándo x tiene hace de fx entre gdx es igual también a él le vale entonces es igual a él le estoy aquí puede parecer un poco extraño pero bueno ahorita voy a escribir los otros casos y después vamos a hacer algunos ejemplos para que todo quede más claro va entonces estoy aquí es el primer caso vale ahorita voy a ser un ejemplo en un ratito para fijar las ideas pero por el momento vamos al caso número dos cuando el límite de cuándo x tiene hace de fx es igual a más menos infinito vale este es el otro caso entonces estamos pidiendo eso y luego pedimos también que el límite de cuándo x tiene hace de gdx sea igual a más menos infinito y la misma hipótesis de acá arriba o sea también pedimos que y otra vez vamos a poner algo en términos de una fracción entonces el límite de cuándo x tiene hace df prima de x / / g prima de x existe y es igual a l entonces podemos hacer la misma conclusión es más como base la misma misma conclusión pues voy a copiar y pegar la entonces voy a seleccionar esto no voy a cada edición copiar y luego edición pegar a ésta sale esto de aquí es la conclusión que nos da la regla del op ok entonces la situación típica para usarlo hospital es la siguiente digamos vamos al caso de ser en 30 nos piden encontrar el límite de este cociente para cuando existen de aceh pero ten samsung a efe que se va a hacer o cuándo extiende a c y e on ag que también se va a hacer o cuándo que tiene hace entonces si estas dos se van a cero y nos pide encontrar digamos el límite del cociente lo que vamos a hacer es considerar el límite del cociente de las derivadas y vamos a calcular su límite de 4 x tiene hace ese límite existe y es igual a l entonces el límite del cociente normalito también existe y es igual a l aquí abajo también pasa algo parecido cuando tenemos infinito entre menos infinito o menos infinito infinito o cualquier combinación vale de infinitos entonces estás acá son las dos formas indeterminadas que vamos a tratar va ahora sí salgamos de la abstracción y vayamos a un ejemplo para que todo quede mejor explicado entonces suponemos que queremos determinar vamos a poner un ejemplo y lo voy a hacer con otro color como morado entonces vamos a buscar el límite de cuándo x tiende a cero de seno de x dividido entre ex ok entonces simplemente vemos esto e intentamos evaluar es este límite en x igual a cero verdad o conforme nos acercamos a cero pues queda algo del estilo cerró en 30 porque se no de cero es igual a cero o bien el límite cuando existen de acero de fe no de x es igual a cero y pues del mismo modo cuando aquí se va a ser pues aquí también se va a ser verdad entonces esta es la forma indeterminada ahora estoy aquí y la fx pues va a ser seno de x f de x y la gdx pues va a ser aquí la gx va a ser igual a x entonces aquí le pongo cdx es igual a x e y f dx es igual hacen o dx muy bien ahora observa pues definitivamente ya sabemos que se cumplen las primeras dos condiciones verdad aquí se es igual a cero pero cuando aquí se va a hacer o entonces seno de x 0 es la primera hipótesis y de modo similar pues gedeck y también se va a hacer o cuándo xv a 0 entonces tenemos la forma indeterminada pues correspondiente pero vamos a ver qué pasa con las derivadas vale vamos a tomar el límite del cociente de las derivadas conforme x se va a cero y vamos a ver qué sucede vamos a ver si el límite del cociente de las derivadas existe entonces lo voy a hacer en digamos azul van entonces voy a escribir las derivadas de las dos funciones por aquí efe prima de x es igual a jeff estreno de x f prima es la derivada de xenón escocés no de x eso ya lo hemos visto varias veces verdad y si gdx es igual a x entonces que prima es súper fácil verdad simplemente nos queda uno va entonces vamos a intentar encontrar el límite del cociente de las derivadas el límite de 4 x tiene acero df prima de equis entre g prima de x vale entonces eso va a ser igual a josé no dx / / / uno va y qué sucede con este límite el 1 europeo sobre uno y qué sucede con este límite cuando x se va a hacer pues conforme que se va a hacer o cocina de aquí se va a uno y entonces el límite nos queda uno pues aquí lo voy a poner dividido entre 1 voy a escribir el resumen de esto acaba la derecha lo que acabamos de ver es que el límite de cuándo x tiende a pues nuestra se vale cero verdad entonces cuando existen de acero df prima de x / / g prima de x es igual a 1 este límite existe y es igual a 1 entonces ya santísimos todas las hipótesis del caso cero en 30 cuando quise base fx es igual a cero el límite de 4 x tiene hace deje de x también es igual a cero y el límite cuando x tiene acero df prima de equis entre g prima de x o sea que nos quedaba cosano de 15 entre 1 ya vimos que es igual a 1 así pues todas estas tres condiciones o bien estas tres hipótesis se cumplen y la regla del hospital nos permite llegar a esta conclusión entonces el límite de 4x tiende a cero de seno de x / / x es igual a uno es igual a 1 porque debe tomar el mismo valor que el límite del cociente de las derivadas de cuándo x tiende a cero este fue un ejemplo de ser entre 0 en los siguientes vídeos vamos a ver ejemplos de las otras formas indeterminadas para fijar todavía más las ideas
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