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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero abordar en este vídeo es un caso especial de la regla del hospital que son un caso más restringido de la de la regla en general que ya habíamos visto la regla de lo pita littín este acento gracioso típico del francés y entonces decíamos que vamos a hacer un caso especial caso especial de la forma general que ya teníamos y la razón por la cual nos vamos a enfocar o vamos a ir encima de este caso es porque su demostración es muy directa y te dará mucha intuición de porque la regla del hospital funciona entonces vamos a partir con estas siguientes hipótesis donde fd a una función efe evaluado en un punto cero y además vamos a pedirle que su derivada exista o no que se iba que exista existe muy bien y vamos a pedir también una función g una función g evaluado en el mismo punto a sea cero y que también su derivada evaluada en a exista que existe entonces si todas estas restringe restricciones porque a final de cuentas este caso especial es justamente especial porque tienen más restricciones está restringido a éstas a estas condiciones si tenemos eso entonces podemos concluir que el límite el límite cuando x tiende al punto a de ponerlo así fd x sobre gdx perdón sobre gdx va a ser igual también a un cociente y de hecho por eso le pedimos que existiera va a ser el cociente entre efe prima de a&g prima de a ok entonces esto va a ser muy sencillo de demostrar por eso es que vamos a utilizar este caso especial y de hecho vamos a partir de este lado derecho para llegar al lado izquierdo como vamos a empezar pues partiendo de la definición de lo que es una derivada y recordemos entonces que efe prima evaluado en a no es otra cosa más que el límite el límite cuando x se aproxima de fx - efe dea sobre x menos a y sólo a modo de recuerdo esto a final de cuentas lo que me está dando es una aproximación dependientes verdad de la pendiente de la gráfica la pendiente perdón de la recta tangente a la gráfica de una función por ejemplo si aquí está mi gráfica de la función y aquí tengo el punto aquí está a coma efe cda ok y aquí tengo el punto x f de x entonces lo que me están calculando este cociente es la pendiente de esta recta que aproxima que conecta estos dos puntos por supuesto que sí estamos aproximando a x o más bien x lo estamos aproximando a esto cada vez se va pareciendo más a la pendiente de la recta tan gente muy bien y ahora si dividimos todo esto entre eje prima de a si dividimos todo entre g prima de a pues será dividir esto entre el límite cuando x se aproxima deje de x - fedea sobre x menos a esto es el cociente que tenemos que calcular verdad y por supuesto como tenemos el cociente de los dos límites que tienen al mismo lugar esto es lo mismo que el límite esto es lo mismo que el límite cuando x tiende a de estos pacientes verdad de fx vamos a ponerlo así fd x - efe dea sobre x menos a abajo vamos a poner sólo gdx - gedea sobre x - ah entonces para simplificar esta expresión lo que vamos a hacer es multiplicar arriba y abajo por x menos a lo que entonces hacemos esta multiplicación y lo que queda aquí es que x menos a / x menos a esto se cancelan y éste se cancela con este de aquí abajo entonces al final lo que me queda es simplemente el límite cuando x se aproxima de fx - efe cda y quizás ya te está viendo hacia dónde vamos a llegar pero voy a dejarlo con el mismo color para que no haya ningún problema fd x - efe de a todo esto sobre gdx gdx - idea y esto es muy sencillo ya prácticamente estamos aquí porque ahora tomamos la hipótesis inicial que se vea y gba son cero es decir en a se anulan ok entonces y en asia nuland estos dos valen cero valen cero y sólo me queda entonces el límite el límite cuando x tiende a de fx efe de kysak arriba sobre sobre gdx así que acabamos de demostrar que si las dos funciones fg se anulan en el punto a es decir valen cero en a y que además sus derivadas en el punto a existen pudimos demostrar que el cociente de estas derivadas es igual al límite cuando x se aproxima de las funciones efe sobre eje de la función efe sobre g así que es una prueba muy directa para este caso especial de lo que es la regla del hospital
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