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Transcripción del video

ya hemos visto que si iniciamos con la ecuación diferencial derivada de ye respecto de x igual ayer y con una condición inicial de digamos ya evaluada en 0 igual a 1 entonces obtenemos la solución está solución particular verdad para esta condición inicial de evaluada en x igual a ea la x y si no te gusta la anotación de función simplemente puedes ponerlo como de iguala a la equis verdad y todo esto es muy fácil de hacer porque es una ecuación diferencial de variables separables pero como verás a medida que avances en este mundo de las ecuaciones diferenciales la mayoría de las ecuaciones diferenciales no son tan fáciles de resolver y de hecho muchas de ellas son imposibles de resolver usando métodos analíticos así que con esto dicho pues que vamos a hacer muchos fenómenos naturales se describen muy bien con las ecuaciones diferenciales pero si no podemos resolverlas entonces deberíamos rendirnos la respuesta es no no te rindas porque ahora tenemos algo muy importante casi todos en nuestras manos que son las computadoras y son muy buenas con los métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales y al menos ver cómo son ahora bien en este vídeo vamos a explorar uno de los métodos numéricos más directos para proxy para aproximar una solución particular así que para eso vamos a empezar dibujando una tabla que íbamos a dibujar una tabla aquí vamos a poner x vamos a poner allí verdad ahí tenemos algo así y vamos a pintar tanto más bien vamos a poner los valores también de la derivada de ye con respecto de x verdad y si se acuerdan cuando hicimos campos dependientes lo que hacíamos con esta tabla era por ejemplo si x le dábamos un valor cero aquí en particular pues sabemos que la derivada de perdón el valor de g 1 verdad el valor de g es uno verdad en nuestra condición inicial y la pendiente nos dice que es el valor de ya que en este caso sería 1 verdad y entonces uno podría ir haciendo este este método con todos estos puntos del plano con un montón de puntos del plano y entonces al menos podemos esbozar cómo es la pendiente de las soluciones en cada punto verdad entonces algo similar vamos a hacer con esta condición inicial y para para ir creando este método así que déjenme hacerlo con un color que llame más la atención verdad entonces aquí estamos diciendo que en la condición inicial es decir en x igual a cero igual a 1 que es este punto de aquí la pendiente vale 1 ok más o menos esa es la pendiente y a diferencia de lo que hemos estado manejando con los campos dependientes en vez de hacerlo con muchos puntos vamos a suponer que está pendiente es es la misma o es constante hasta el siguiente valor de equis que queramos elegir y usamos vamos a usar esa idea para hallar el siguiente valor de ye que corresponde a esta solución particular verdad entonces qué es lo que quiero decir con todo esto si nosotros consideramos digamos un cambio en x una delta x igual a 1 es decir vamos a ir aumentando x de uno en uno entonces podemos tomarnos por ejemplo podemos sumar uno verdad que es nuestro delta xy ver qué pasa con la solución que pasa en x igual a 1 verdad y si consideramos que está pendiente es constante verdad entonces al aumentar uno en x debe aumentar uno de verdad entonces el siguiente punto que lo voy a poner de verde sería este de aquí muy bien si si nosotros extendemos está pendiente de verdad si nosotros hiciéramos está pendiente igual a 1 ahí lo tienen entonces este sería nuestro siguiente punto verdad que de hecho de hecho lo pinté mal debería estar arriba ahí está verdad en 1 2 ahí está verdad avance 1 en x entonces avanzó 1 y entonces la aie tendría que ser 2 verdad ahora bien si nos fijamos si pensamos que este es un punto de la solución cuál sería su pendiente pues la pendiente tendría que ser 2 verdad nos dice que es el valor de y entonces a partir de este punto por ejemplo ahora si tomamos un color rosa nos dice que si avanzamos 1 en x tenemos que avanzar 2 en de verdad entonces si avanzamos 1 en x que sería poner aquí 2 tenemos que avanzar 12 y eso sí significa que estaríamos en el valor 4 verdad entonces y tendríamos que estar en el valor 4 ahí lo tienen y esto sería suponer que la pendiente es constante y vale 2 verdad ahora bien eso es aquí en este punto cuál sería la pendiente ahora ya que estamos en este nuevo punto en el 24 pues la pendiente tendría que hacer 4 verdad así que vamos a hacer un último punto es decir vamos a sumarle 1 a las x tendremos aquí 3 y si la pendiente vale 4 esto significa que al aumentar 1 en x aumentamos 4 en que es decir tendría que estar en el 8 verdad entonces aquí está el 8 y acá arriba está el 3 perdón aquí a la derecha está el 3 y más o menos entonces se ve algo así verdad más o menos ahí tenemos una aproximación de lo que es la solución y entonces tú dirás bueno esto realmente es una muy mala aproximación verdad si nos fijamos en el error cómo es que va pues dirás que esta es una muy mala aproximación y yo te diría que en realidad depende de cuáles sean tus objetivos verdad yo aquí quise hacer este ejemplo porque quería hacerlo a mano verdad y por eso tomé mismo digamos mis brincos que hago en x o las distancias que tengo entre cada valor de x muy grande verdad vale 1 así que nosotros podríamos intentar hacer otra aproximación tomando por ejemplo un delta x igual a algo más pequeño por ejemplo delta x igual a un medio que es 0.5 verdad entonces podríamos intentar hacerlo con ese valor vamos a ver que nos da vamos a tomarnos una nueva tabla vamos a poner aquí x x vamos a poner la aie y vamos a poner el valor de la derivada de jake con respecto de x ahora nosotros tenemos que partir nuevamente de la condición inicial que es el 01 verdad y la pendiente vale 1 y entonces seguimos estando en esta condición inicial muy bien ahora bien si nosotros aumentamos punto 5 ahora nos movemos y sumamos 0.5 ahora estamos en el 0.5 y si aumentamos fíjense muy bien si por cada uno que aumentamos de x aumentamos 1 dl si aumentamos punto 5 vamos a tener que aumentar 0.5 y eso nos dice que hay que estar en 1.5 verdad entonces si se dan cuenta ya tenemos una mejor aproximación de lo que es la solución yo sé que aquí se va a ver muy amontonado pero vamos a ir viendo que esto va a verse cada vez mejor verdad y ahora estamos en este punto en el 0.5 verdad y 1.5 la derivada en ese punto es el valor de g justamente que es 1.5 es decir la pendiente de la solución en ese en ese punto en particular verdad entonces si nosotros volvemos a agregar 0.5 digamos no se ha dado con un color morado en un color morado y agregamos 0.5 entonces ahora ya nos encontramos en el punto 1 verdad y si por cada uno de x que avancemos aumentamos 1.5 d y entonces si aumentamos la mitad de x bueno la más bien un medio perdón entonces vamos a tener que aumentar 0.75 que al sumarse lo a esta coordenada que ya teníamos será 2.25 verdad entonces aquí estaremos en 2.25 que es un punto que más o menos corresponde a esa altura y si te das cuenta nada más de estos tres puntos se va viendo que tenemos una mejor aproximación de nuestra solución recordemos que la solución es de x igual a la x entonces si queremos fijarnos por ejemplo en el punto 1 lleno 1 la solución debería ser es verdad que de hecho sabemos que es el número de oil ergo verdad y si nos fijamos en esta aproximación tenemos que es 2.25 verdad perdón en x igual a 1 mientras que en esta en este otro ejemplo teníamos que validar 2 verdad entonces si te das cuenta esta es una muy mala aproximación esto es un poco mejor porque el valor de es más o menos 2.70 y algo de hecho si tomáramos una delta x por ejemplo de 0.0 0001 entonces tendríamos una mucha o una mejor aproximación de la solución y de hecho podríamos calcular con mayor precisión el valor de esta constante verdad entonces como podrás haberte dado cuenta en este vídeo muchas ecuaciones diferenciales se pueden simular usando distintos métodos numéricos y este es el más directo de ellos y bueno te preguntarás cómo se llama este método en particular pues este método se le conoce como el método de hoy leer justamente hoy leer del que hablábamos hace unos segundos verdad hoy leer el matemático famoso que de hecho trabajó en muchísimas áreas pero bueno este método se le conoce justamente como el método de hoy leer entonces si te das cuenta este método ayuda muchísimo a calcular el valor de con una mayor precisión aunque en realidad nos ayuda también a encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales al menos de una forma aproximada
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