Identificar ecuaciones separables

Para resolver una ecuación diferencial por medio de separación de variables, debemos ser capaces de llevarla a la forma $f(y)dy=g(x)dx$‍, donde $f(y)$‍ es una expresión que no contiene la variable $x$‍ y $g(x)$‍ es una expresión que no contiene la variable $y$‍.

No todas la ecuaciones diferenciales son como esa. Por ejemplo, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x+y$‍ no puede llevarse a la forma $f(y)dy=g(x)dx$‍, no importa cuánto lo intentemos.

De hecho, un gran desafío para usar separación de variables es identificar si podemos aplicar el método. Las ecuaciones diferenciales que pueden resolverse por medio de separación de variables se llaman ecuaciones separables.

Entonces, ¿cómo puedes decir si una ecuación es separable? La clase más común son ecuaciones donde ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍ es igual a un producto o un cociente de $f(y)$‍ y $g(x)$‍.

Por ejemplo, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{g(x)}{f(y)}}$‍ puede transformarse en $f(y)dy=g(x)dx$‍ cuando se multiplica por $f(y)$‍ y $dx$‍.

También, ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍ puede transformarse en ${\displaystyle \frac{1}{f(y)}}dy=g(x)dx$‍ cuando se divide entre $f(y)$‍ y se multiplica por $dx$‍.

Aquí hay algunos ejemplos concretos:

Otras ecuaciones deben ser manipuladas ligeramente antes de que estén en la forma ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍. Por ejemplo, necesitamos factorizar el lado derecho de ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=xy-7x$‍ para llevarla a la forma deseada: