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Ejemplo resuelto: ecuación separable con solución implícita

A veces la solución de una ecuación diferencial separable no puede escribirse como función explícita. ¡Esto no significa que no podamos usarla!

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Transcripción del video

esta vez tenemos una ecuación diferencial que dice no se nos dé 2 esto que multiplican a de x igual a 2x y nos dan una solución particular cuando x es igual a 110 de 1 es igual a 0 y nos piden que encontremos cuál es el valor de x cuando james es igual a pi así que lo primero que me gusta preguntarme cuando veo una ecuación diferencial es si es separable o no puedo obtener las 10 y el de james de un lado de la ecuación y las x de x del otro lado de la ecuación bueno pues viendo esta ecuación parece que sí lo es si multiplicó ambos lados por de x donde pueden ver de x como una diferencial x de un cambio infinitamente pequeño en x entonces obtienen un siguiente vamos a obtener que el coche no de james + 2 de que es igual a 2 x d así que lo único que he hecho es multiplicar de ambos lados de la ecuación por de x y con esto fui capaz de separar las 10 y las leyes de un lado de la ecuación y las x y de x del otro lado y ahora puedo integrar de ambos lados entonces se integró de ambos lados que voy a obtener bueno la anti derivada de coser note que con respecto a james es fácil es el seno de yema y luego tengo el anti derivada de 2 con respecto a james eso es 2 james y esto va a ser igual al anti derivada de 2x con respecto a x que es x cuadrada y no podemos olvidar la constante entonces esta es la solución general para la ecuación diferencia es separable y luego podemos encontrar una en particular sustituyendo cuando x es igual a 1 y es igual a 0 así que esta información nos va a ayudar a encontrar hacer cuando que es igual a 0 x es igual a 1 tengo el 2 siguiente tendríamos que el seno de 0 más 2 por 0 lo único que hice fue sustituirla por 0 en este punto esto va a ser igual a x cuadrada pero ahora x es igual a 1 entonces me quedaría 1 al cuadrado más bien seno de 0 0 2 por 0 0 así que todo esto va a ser cero y entonces tenemos que ser o es igual a 1 más sé que se me es igual a menos 1 así que ahora podemos escribir la solución particular para esta ecuación diferencial separable que cumple estas condiciones entonces tenemos el seno de james + 2 james es igual a equis cuadrada y nuestra constante es igual a menos 1 entonces menos 1 y ahora cuál es el valor de x cuando james vale pib entonces vamos a sustituir allí por pink y me quedaría seno de pim 2 pink es igual a x cuadrada menos 1 ahora se nos de pies igual a 0 entonces tenemos veamos 2 pib y si sumamos uno de ambos lados tenemos dos primas uno igual a equis cuadrada o podemos decir que x es igual a más menos la raíz cuadrada de dos primas 1 entonces ya está escribiré aquí que x es igual aquí ya tengo el más menos la raíz cuadrada de dos primas 1 y qué creés hemos terminado