Ejemplo resuelto: solución exponencial a una ecuación diferencial

esta vez tenemos la ecuación diferencial de 7x igual a 3 james y queremos encontrar la solución particular que nos debe de de igual a 2 cuando x es igual a 1 así que los invito a que pausa en el vídeo y vean se pueden encontrar esto por su cuenta muy bien ahora vamos a trabajarlo juntos algunos de ustedes podrían decir inmediatamente oye yo reconozco esta forma de una ecuación diferencial ahí la solución va a ser un exponencial y ustedes estarán en lo correcto pero no voy a ir directo a eso solo voy a reconocer que esta es una ecuación diferencial separable y con esto voy a resolverlo de esa manera entonces cuando digo que es separable eso significa que puedo separar todas las 10 leyes de un lado y todas las equis y de x del otro lado así que lo que puedo hacer es dividir de ambos lados de esta ecuación entre james y multiplicar de ambos lados por de x y justo así obtendrían que bueno me queda 1 entre james de james es igual a 3 de x ahora observa tanto del lado izquierdo como del lado derecho tengo todo listo para poder integrar de esto es lo que la gente habla cuando dicen ecuación diferencial separable así que vamos a integrar del lado izquierdo y si lo quiero escribir de una forma bastante general podré escribir que la anti derivada de 1 entre james va a ser igual a logaritmo natural del valor absoluto de james aquí estoy sacando el anti derivada con respecto a y ahora podrían agregar una constante pero no voy a agregarla y solamente voy a agregar una sola en el lado derecho podría agregarla solamente de un lado entonces esto va a ser igual y tengo la anti derivada de m3 de x lo cual es simplemente 3x ya que se agregará la constante prometida y ahora vamos a pensar de un poco bien ahora vamos a volver a escribir esto pero de una forma exponencial entonces nos quedaría que el valor absoluto de james va a ser igual elevado a la 3x más se podría escribir que es elevado a la 3 x c lo puedo ver como el elevado a la 3x por el elevado a la c donde he elevado la se ha observado va a ser una constante arbitraria así que vamos a ponerle un nombre le voy a poner el nombre de c mayúscula y bueno ya sé que vamos a obtener valores diferentes para estas es pero solamente estamos tratando de dar un sentido general de cómo se vería la estructura de esta ecuación diferencial entonces ha elevado la sep se va a llamar ser y ahora podríamos decir que esto va a ser una constante por el elevado la 3x ojo esto aún no es una función estamos tratando de encontrar esta función solución para esta ecuación diferencial entonces esto de aquí lo que nos está diciendo es que o que es igual a una constante por el elevado a la 3x y es igual a menos la constante que multiplica ha elevado a la 3x esto para quitar el valor absoluto bien hasta ahorita no sabemos quién es justo eso es lo que queremos entonces lo que podemos hacer es escoger una de estas dos ecuaciones y luego despejar hace suponiendo que estamos en alguna de estas dos así que voy a escoger quién igual hace porque a la 3x y entonces veremos si podemos cumplir estas restricciones recuerda y es igual a 2 cuando x es igual a 1 cuando james es igual a c que multiplica ha elevado la 3x esencialmente vamos a tomar esta otra consideración entonces vamos a escribirlo cuando x es igual a 1 y es igual a 2 así que lo podemos ver así 2 que bueno sabemos que es lo que vale james es igual a c que multiplica a en elevado a la 3 por equis pero en este caso donde hay es igual a 2x vale 1 entonces a la 3 por 1 y bueno nos queda que 2 es igual a c por el elevado la 3 y entonces para resolver así podríamos dividir de ambos lados entre el elevado la 3 o podría multiplicar de ambos lados por el elevado al menos 3 en lo mismo y así obtengo que se es igual a 2 por el elevado a la menos 3 eso es igual a cero entonces ahora vamos a sustituirlo en nuestra solución particular y ahora sí que nos quedaría que james es igual a 0 cm es lo mismo que dos por ea la menos tres por el elevado a la 3x ahora estoy sacando el producto de dos cosas que tienen la misma base entonces puedo sumar los exponentes para que quede mucho más limpio y me quedaría que james es igual a 2 por el elevado a la 3x y voy a sumar los exponentes menos 3 y ahí lo tienen esta es una manera en la que podrán escribir una solución particular que cumple estas restricciones y es igual a 2 cuando x es igual a 1 para esta ecuación diferencial separable