Modelos exponenciales y ecuaciones diferenciales (parte 1)

lo que quiero hacer en este vídeo es ir explorando cómo modelar situaciones usando ecuaciones diferenciales y en este vídeo en particular vamos a ver un modelo de una población entonces vamos a ver un modelo de una población modelo de población ok y veremos usando la lógica de las ecuaciones diferenciales algunos temas que seguramente ya has visto en alguna clase de álgebra o de cálculo o en algunos lugares también le llaman clases de pre cálculo verdad entonces para poder hacer todo esto vamos primero a definir algunas variables así que vamos a definir a la variable p como una población aunque puede ser la densidad poblacional o puede ser el número de individuos el punto es que se refiere a una población verdad y pues esta población irá cambiando a lo largo del tiempo entonces la variable t será el tiempo y que por ejemplo podríamos pensar que la variable t está dada en días ok entonces no sé a lo mejor podríamos pensar en alguna y no sé por ejemplo de insectos que se reproducen más o menos rápido entonces la población cambia digamos tan rápido como cambian los días a lo mejor podríamos pensar en años por ejemplo los seres humanos a lo mejor puede ser que tengan una tasa de reproducción un poquito más más más larga verdad podríamos pensar a lo mejor no sé en algún otro tipo de individuos que se reproduzcan más más lento por ejemplo del orden de meses verdad así que realmente todo esto es razonable mientras mientras estamos hablando por ejemplo de insectos ahora cómo vamos a modelar el cambio de la población bueno podríamos pensar en la siguiente ecuación vamos a pensar que la derivada de p con respecto al tiempo con respecto al tiempo es proporcional a la misma perdón a la misma población es decir es la población multiplicada por una constante acá y esto es razonable verdad mientras más población tengamos más rápido crece la población verdad es la probable de que se reproduzcan a lo mejor es más alta oa lo mejor pues tenemos muchos más nacimientos por día mientras más más individuos tengamos verdad entonces a veces pensamos que las ecuaciones diferenciales son cosas muy complicadas y que se vuelven unos modelos sumamente difíciles de entender pero realmente en este tipo de ejemplos vamos a considerar ideas muy sencillas y que son muy fáciles de plasmar en en este tipo de modelos en ecuaciones diferenciales ahora bien ya que tenemos expresada nuestra ecuación diferencial o cómo cambia la población a lo largo del tiempo lo que sigue es hallar la solución general de esta ecuación diferencial verdad y después podríamos añadir algunas condiciones por ejemplo condiciones iniciales para hallar soluciones particulares así que te invito a que hagas una pausa y trates de pensar cómo podrías resolver esta ecuación diferencial ahora yo supongo que ya hiciste una pausa vamos a vamos a trabajar esta ecuación entonces lo primero que tenemos que hacer es reconocer que esta es una ecuación diferencial de variables separables verdad y lo que uno hace con las ecuaciones diferenciales separables es pasar todo lo que dependa digamos de la variable p de un lado y todo lo que dependa de la variable t del otro lado verdad y aquí por supuesto bueno lo que lo que hemos estado trabajando es digamos cómo despejar la diferencial de t verdad o ir multiplicando estas diferenciales dt o de verdad y realmente esto es sólo digamos esto tiene una verdadera justificación de por qué lo podemos hacer verdad digo las diferenciales no son números uno podría por ejemplo como pensarlo rápidamente que en realidad esto es un límite verdad de el cambio en p / el cambio en t y eso sí son números y es por eso que a lo mejor podríamos pensar que se pueden despejar pero el argumento principal se encuentra en el método de variable de perdón de de sustitución en las integrales pero bueno para fines de este ejercicio sabemos que que podemos hacerlo verdad entonces lo que podemos hacer aquí es multiplicar por 1 entre p de ambos lados 1 entre p de ambos lados y luego lo que vamos a conseguir ahí del lado derecho es que se cancelen las pes y luego multiplicamos por dt de ambos lados y nuevamente mencionó que esto sólo es sabemos que se puede hacer verdad aunque tiene una explicación matemática formal muy bien entonces lo que conseguimos del lado izquierdo es que se cancelen las diferenciales dt y dell derechos se cancelan las p es verdad entonces lo que obtenemos es la siguiente ecuación digamos tenemos 1 sobre p por bp es igual a k por de t por dt y ahora lo que podemos hacer es integrar de ambos lados verdad aquí es en donde digo que viene el argumento del cambio de variable pero bueno vamos a seguir la lógica digamos de estos argumentos y del lado izquierdo lo que tenemos es la integral de 1 entre p dp y eso sabemos que es el logaritmo natural del valor absoluto de p mientras que del lado derecho tendríamos el aporte verdad aporte y tenemos que agregar a que agregar perdón una constante y voy a llamar los eeuu no ahora porque eso lo agregó la constante del lado derecho bueno es que si tuviéramos una constante del lado izquierdo que de hecho sale de la integral de la primera integral entonces la podemos pasar restando y juntamos con la constante que sale de la integral de la derecha y se queda como solo una constante verdad entonces ya hemos hecho esto varias veces así que sólo vamos a dejarlo en esta constante que es la diferencia de estas dos constantes que salen a la hora de integrar ahora bien si yo quiero despejar la pues tenemos que sacar una exponencial de ambos lados verdad la función exponencial entonces nos queda que el valor absoluto de p es igual a el elevado a la cut cada porte más más de uno entonces podríamos seguir utilizando el álgebra verdad porque sabemos que el exponencial de una suma es el producto de las exponenciales entonces tenemos el elevado a la carte verdad que multiplica a el elevado a la c1 entonces lo que podemos ver es que tenemos un exponencial de una constante todo esto lo podemos llamar simplemente una constante c mayúscula y entonces tenemos c por el elevado a la corte elevado a la k porte y aquí ya está nuestra solución general de la ecuación diferencial ahora bien nos faltaría poder decir si quitamos el valor absoluto de peón o el argumento es el siguiente p es una población verdad entonces no podemos tener valores negativos de hecho si nosotros ponemos de igual a cero de igual a cero corresponde a una población inicial verdad aquí nos da 1 y entonces se sería nuestra población inicial que siempre es positivo por eso es que podemos quitar el valor absoluto entonces concluimos que p dt es igual a una constante y que multiplica y ha elevado a la que aporte a la k por t muy bien entonces ya ya ya hemos visto este tipo de modelos en álgebra verdad en álgebra se supone que se modelan algunas cosas que crecen de esta con esta fórmula cuando uno ve el tema de exponenciales o logaritmos y esto es bastante interesante porque a lo mejor uno se preguntaría bueno y de dónde salen esas fórmulas huesos modelos y ahora sabemos de dónde viene todo viene de una ecuación diferencial verdad entonces podemos suponer que en esos ejercicios de álgebra se digamos que la regla viene de una ecuación diferencial ahora en el siguiente vídeo vamos a ver con un problema con condiciones iniciales para poder hallar una solución particular a esta ecuación