El modelo de crecimiento logístico

hola qué tal recuerda es el último vídeo en el que estábamos hablando acerca de cómo modelar la población trabajamos en la idea de modelar de población como una función del tiempo y en ese vídeo dijimos ok qué tal si la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo es proporcional a la población y bueno estábamos diciendo en este caso que la tasa de cambio que les era mientras la población crezca y bueno fue en esa ocasión cuando resolvimos esta ecuación diferencial y encontramos la n de tema que satisfacía esta ecuación y bueno nos dimos cuenta que esa función que resolvía esta ecuación diferencial es la función exponencial y de hecho funcionaba bastante bien la función exponencial satisface esta ecuación diferencial y de hecho hasta vimos cómo podíamos graficar lo si nosotros tenemos por aquí el hambre de eje de la población y por aquí al eje del tiempo es más vamos a poner que ésta es ni población ok y este es mi tiempo ok nosotros decíamos bueno si empezamos en una población en el subíndice cero entonces nuestro crecimiento exponencial nos dice que vamos a crecer a más o menos así justo de esta manera ahora si recuerdas el vídeo pasado dijimos bueno es que aquí existe un problema qué tal si thomas malthus estaba bien es decir que el ambiente no puede soportar más que una cierta población máxima y para eso déjenme a utilizar este color vamos a ver a una cierta población máxima la cual vamos a llamar acá qué tal si el ambiente no puede soportar más que una serie de población máxima de camps que va a ser esta de aquí aquí tengo el valor de cam bueno aquí claramente se ve que no puede crecer infinitamente en este caso el ambiente lo va a detener no sé tal vez no exista el agua suficiente y tarde o temprano faltan alimentos o recursos o lo que sea que falten y es por eso que este modelo de población no toma en cuenta especialmente si lo estamos viendo desde la perspectiva malthusiana y fue justo en ese momento que el matemático pf bird y bueno espero que lo esté pronunciando bien hizo un nuevo modelo matemático sobre el crecimiento de la población pues estoy seguro que él leyó el trabajo de malthus y seguramente dijo debe de haber un modelo que se ajuste mejor a estas ideas así que aunque te parece esta vez comenzamos de nuevo con otra con una nueva ecuación diferencial la voy a poner aquí la derivada de n con respecto al tiempo ok vamos a fijarnos en una ecuación exponencial ok pero en esta ocasión vamos a tomarnos el siguiente modelo bien pues qué te parece si primero hacemos lo siguiente si tenemos una población aunque sea menor que este valor de camps que es la población máxima bueno pues suena muy tentador que esta población crezca de una manera exponencial así que vamos a ponerlo así si tenemos una población pequeña entonces voy a querer que r por n déjame ponerlo con este color okay tenga un crecimiento exponencial ahora qué va a pasar si nosotros nos acercamos el valor de cam bueno pues lo que estaría muy bien es hacer que este crecimiento o esta tasa de cambio tienda a cero cuando nos estemos acercando a la población máxima de acá bueno pues estaremos bien que esto atendiera a cero y como podemos lograrlo bueno tal vez podamos multiplicar justo esto que tenemos aquí por algo ok vamos a multiplicarlo por algo que nos dé esta propiedad lo que queremos es que cuando n es pequeña cuando n es mucho más pequeña que camps entonces esto crezca como una función exponencial y entonces este término de aquí sea cercano 1 mientras que cuando nosotros nos acercamos acá entonces queremos que este término de aquí sea cercano a 0 y bueno como esto es muy importante déjame escribir a ver si n n mucho menor a mucho menor menor menor que acá ok que acá lo que quiero es que esto esto sea igual a 1 entonces quiero que esto sea cercano a 1 ok entonces tenemos una población que crece sin límites el ambiente no nos restringe por lo tanto vamos a tener una población que puede tener bebés y estos bebés crecerán y a su vez podrán tener más bebés y así sucesivamente y esto nos va a dar pie a regresar al modelo anterior justo a una idea como un modelo anterior ahora qué pasa a mí y déjame ponerlo aquí si n tiende al valor de la población máxima bueno si entiende acá entonces lo que voy a querer es que este término o esta expresión término hermine ok tienda hacer esto quiero que tienda a 0 es decir si esto tiende a 0 bueno pues pero por lo que sea me va a dar 0 y entonces la tasa de cambio va a atender a 0 y es que esto nos quiere decir que la comida va a ser mucho más escasa y entonces va a ser muy pesado encontrar recursos y bueno cómo puedo construir con n y camps algo que está dentro de aquí de estos paréntesis que cumpla estas propiedades es decir estas dos son mis metas y de hecho sería muy bueno que tú no intentará resolver por ti mismo y que por pura diversión para ustedes este vídeo e intente es encontrar una expresión algebraica muy sencilla que tuviera estas mismas ideas bien ahora veamos lo siguiente qué te parece si empezamos con un 1 y déjame ponerlo ahora con este color 1 ok ya esto qué te parece si le restamos si le quitamos n / cam ok n está con este color ok n ya esto lo voy a dividir entre camps que por cierto está con este color así que déjenme atraparte por aquí y aquí voy a poner acá y bueno quiero que te des cuenta que este término de aquí cumple justo con lo que nosotros queremos cumplen que si nosotros tenemos una n muy pero muy pero muy pequeña entonces bueno aquí tenemos una pequeña fracción de camps y por lo tanto cuando yo lo quité de uno entonces me va a quedar algo muy cercano a 11 - algo muy pequeño es algo muy cercano 1 y entonces esto se comporta como una función exponencial ahora sí nosotros tenemos una n que sea muy pero muy pero muy cercana al valor de k bueno pues date cuenta que esta expresión va a ser cercana a 1 y uno menos uno va a ser algo que va a tender a cero y entonces pero por lo que sea me va a quedar que la tasa de cambio o el crecimiento de la población va a tender a cero ok y de hecho esta ecuación de aquí que parece ser que nos sirve bastante bien no solamente es una ecuación que nos ayuda a entender el crecimiento de las poblaciones y de hecho este de aquí es una ecuación diferencial muy importante que bueno además de decirnos cómo se comporta el crecimiento de las poblaciones también se utiliza para otros modelos y de hecho estoy casi completamente seguro que la primera vez que se utilizó esta ecuación diferencial fue pensando en el modelo de crecimiento de población sin embargo esta ecuación diferencial tiene un nombre muy específico porque es una ecuación diferencial que se utiliza mucho esta ecuación diferencial se llama ecuación ecuación diferencial diferencial d gerencial ok logística diferencial logística logística ok y de hecho esta ecuación diferencial logística es justo lo que vamos a estudiar con mucha calma en los siguientes vídeos y no sólo eso en el vídeo siguiente vamos a resolver esta ecuación diferencial logística que por cierto es un poco más laboriosa de encontrar la solución que esta ecuación que tenemos aquí pero tampoco es muy difícil esta ecuación diferencial también se resuelve por variables separables y utilizando un método de integración que vamos a recordar en el siguiente vídeo pero una vez que ya encontremos la solución bueno pues el nombre de la solución y vamos a decirlo de esta manera am se le conoce como la función logística claro y bueno ahora lo que quiero hacer es ver más o menos cómo se comporta esta ecuación diferencial y que veamos más o menos cuál es su gráfica y bueno para eso debe bajar un poco la pantalla no espera me gustaría que se vieran las caras así que vamos a dejarla como por aquí y vamos a dibujar dos ejes voy a decir que este va a ser a mi eje de la población y este para acá va a ser mi eje del tiempo así que vamos a ponerlos este de aquí es mi eje de la población ok y este de aquí va a ser mi eje del tiempo de lujo y bueno de hecho se déjame bajar un poco más esta pantalla porque luego me dicen que no se ve muy bien qué es lo que pasa aquí abajo y lo primero que quiero que veamos es un caso muy especial que es lo que pasa cuando tenemos una población justo aquí cuando n vale 0 bueno si te das cuenta si n vale 0 entonces se cumple esta ecuación diferencial porque la población va a ser 0 y entonces esto va a ser cero y eso quiere decir que la tasa de crecimiento se mantiene en cero y eso es completamente lógico y completamente cierto porque si nosotros empezamos con una población de cero bueno pues date cuenta que entonces no vamos a tener poblador y por lo tanto no va a haber nadie que pueda tener hijos y entonces la población nunca va a crecer en este caso cuando la población base vale cero tenemos una solución constante así que déjame ponerlo aquí cuando n de t es igual a cero tenemos una solución constante porque nunca cambia y repito esto tiene mucha lógica porque satisface la ecuación diferencial logística que tenemos aquí arriba y eso quiere decir que si nosotros empezamos sin nadie en esta población bueno pues nos vamos a mantener de esa misma manera nadie va a tener bebés y bueno el segundo caso muy especial la segunda solución constante es cuando n vale acá si por ejemplo aquí tenemos el valor de cam bueno date cuenta de lo siguiente bueno pues entonces qué va a pasar si nuestra población empieza en acá es decir si n subíndices 0 empieza en campo bueno pues darte cuenta que si nosotros empezamos en k es decir en el tiempo igual a cero entonces nuestra población se va a mantener en campo y es que date cuenta es lo siguiente si nosotros tenemos que nuestra población y es que bueno pues aquí me quedarían que entre camps lo cual es 11 10 y entonces la tasa de crecimiento de la población va a ser cero dicho de otra manera esta población no crece ni disminuyen siempre se mantiene en que es una solución constante y esto tiene mucha lógica con lo que decía maltos si nosotros tenemos a esta población constante bueno tal vez maltos lo pensaba de la siguiente manera crece un poco y después disminuye por alguna catástrofe y después va a volver a crecer y después pasa otra vez este umbral de la población máxima y llega otra catástrofe y así se sigue ahora este modelo y lo que me gusta es que no forzosamente sigue la misma idea y la misma noción de unas catástrofes lo que dicen es que tiene otra solución constante está de aquí mi solución constante en el tema igual a camps es decir que cuando nosotros llegamos a la población máxima justo ahí nos vamos a mantener estas dos soluciones son soluciones desde con diferencia logística pero son soluciones constantes y bueno ahora me voy a preguntar qué es lo que va a pasar si empezamos con una cierta población inicial que le voy a poner aquí en el subíndice cero pero está en el subíndice cero voy a pedirle y déjame ponerlo aquí en el subíndice cero voy a decir que es más pequeña que camps es más pequeña que el valor de la población máxima pero a su vez voy a decir que sea más grande que bueno cero es decir que si podemos tener en esta ocasión bebés y bueno si nosotros empezamos con esta en el subíndice cero y vamos a suponer en un principio que está en el subíndice cero es muy pero muy pequeña bueno pues date cuenta que es lo que va a pasar en esta ecuación diferencial es que este término va a dominar sobre este y ojo recuerda que ahorita solamente voy a hacer el esbozo de la gráfica de esta ecuación diferencial logística en el siguiente vídeo es cuando la voy a resolver fíjate bien si empezamos con algo muy pequeño supongamos que tenemos un octavo un décimo de esta población máxima bueno pues aquí voy a tener un décimo de esta población máxima y uno menos un décimo va a ser nueve decimos lo que es muy parecido a uno dicho de otra manera esto se va a comportar como una ecuación diferencial muy parecida a ésta que teníamos acá arriba este término va a dominar sobre este y por lo tanto esto me dice que este de aquí va a ser mi término dominante de esta ecuación diferencial dicho otra manera este va a ser el que va a dictar cómo se va a comportar la tasa de crecimiento eso cuando n es muy pequeña y bueno como éste va a ser el que dicta entonces fíjate que tenemos un crecimiento exponencial entonces se va a ver más o menos así vamos a empezar a crecer de una manera exponencial ok pero en medida en que nos vayamos acercando al valor de campo entonces la tasa de cambio va a empezar a cambiar si te das cuenta si estamos muy cercanos el valor de acá esto de aquí es muy cercano a 1 y entonces cuando tenga 1 - algo muy cercano a 1 esto va a ser así lo que quiere decir que cuando nosotros nos acercamos acá nuestra tasa de crecimiento va a ir disminuyendo o de otra manera tenemos como una asín total valor de acá nuestra tasa de crecimiento va a tender a cero poco a poco vamos a crecer de una manera mucho menor y entonces a más o menos se va a ver así el comportamiento de esta población inicial justo esta sería la forma del esbozo de la gráfica de ecuación diferencial y bueno todo depende de donde empecemos si nosotros empezamos por ejemplo aquí bueno pues entonces tal vez vamos a tener un crecimiento a más o menos así por otra parte es en nuestra condición inicial empieza más o menos como por aquí bueno pues va a ser va a ver más o menos así el esbozo de nuestra gráfica es decir algo más o menos así y de hecho lo que quiero que te des cuenta es que no utilizamos matemáticas elegantes en este vídeo para resolver esta ecuación diferencial y sin embargo hicimos un esbozo y comportamiento de su gráfica y lo más importante de todo esto con lo que quiero que te quedes es que si tenemos una condición inicial muy pero muy pequeña entonces vamos a tener un crecimiento parecido al crecimiento exponencial ok más o menos así y si nosotros tenemos una condición inicial o nos vamos acercando al valor de camps entonces vamos a tener poco a poco una tasa de cambio muy pero muy cercana a cero se va a ver más o menos así nuestra población casi no va a crecer y entonces esta de aquí va a ser nuestra gráfica de esta ecuación diferencial logística en el siguiente vídeo vamos a resolver por completo esta ecuación diferencial logística y lo padre es que vamos a poder corroborar si realmente tiene sentido con esta idea que tenemos de nuestra gráfica de nuestra ecuación diferencial logística