Rectas secantes y razones de cambio promedio

aquí tenemos la gráfica de la función y es igual a x cuadrada bueno de hecho es sólo una parte de la gráfica y la primera cosa que quiero abordar en este vídeo es la tasa de cambio de ye con respecto a x en el intervalo desde el x igual a uno hasta x igual a 3 así que déjame escribirlo queremos la tasa de cambio promedio james con respecto a x la tasa de cambio promedio con respecto a x en el intervalo 1,13 en el intervalo cerrado 13 es decir x puede tomar el valor de 1 y también puede tomar el valor de 3 bueno nosotros podremos saber la respuesta incluso sin ver la gráfica si hacemos una tabla por acá donde aquí tengamos a equis y aquí tengamos a james que es igual a equis cuadrada entonces podemos decir que cuando x vale 1 llévale bueno 1 al cuadrado lo cual es uno lo puedes ver justo aquí observa la gráfica y cuando x vale 3 bueno y es igual a 3 al cuadrado lo cual es 9 y lo podemos ver acá cuando x vale 3 y vale 9 y para encontrar la tasa de cambio de que con respecto a x entonces decimos primero cuál es mi cambio en x bueno claramente podemos ver que mi cambio en x en este intervalo es de 2 positivo y ahora cuál es el cambio en james en este mismo intervalo bueno nuestro cambio va a ser igual vamos desde 1 hasta 9 es decir que cuando nosotros vamos en x de 1 a 3 podemos decir que nosotros incrementamos de 1 a 9 en game y tenemos un cambio de 8 de 8 positivo entonces cuál es la tasa de cambio de que con respecto a x va a ser igual a 8 entre 2 lo cual va a ser igual a 4 es decir que en este intervalo en promedio cada vez que aumentamos x en 1 vamos a aumentar allí en 4 y como lo calculamos bueno recuerda que si sólo nos fijamos en el cambio en x si lo dibujamos sería este de aquí y ahora déjame dibujar nuestro cambio en james y entonces tenemos un cambio en que con respecto a x ahora seguramente esto te parece familiar porque si hablamos del cambio en que con respecto a x en el contexto de una recta esto nos da la idea de la pendiente de la recta que conecta dos puntos y esto de hecho es lo que calculamos si dibujamos la recta secante entre estos dos puntos bueno esencialmente lo que hicimos fue calcular la pendiente de esta recta secante por lo tanto la tasa de cambio entre dos puntos es lo mismo que la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos y viendo esta recta secante comparada con la curva en el mismo intervalo nos da una intuición visual de lo que significa una tasa de cambio promedio observa que en la parte inicial del intervalo puedes ver que la recta secante está creciendo con una tasa más rápida que la curva de amarillo y cuando se acerca tres parece que la curva de amarillo está creciendo con una tasa de cambio más rápida que la recta secante y de hecho eventualmente alcanza la recta secante y esa es la razón por la cual la pendiente de nuestra recta secante es la tasa de cambio promedio del intervalo si te preguntas si es la tasa de cambio exactamente en cada uno de los puntos bueno pues la respuesta es no la tasa de cambio de la curva está cambiando constantemente es una tasa de cambio menor en la parte inicial del intervalo lo puedes ver aquí y después aumenta a una tasa de cambio más rápida conforme nos acercamos al final del intervalo así que sobre el intervalo el cambio en que con respecto a x no siempre es el mismo ahora bien una pregunta que seguramente te aqueja es porque tenemos que aprender esto en una clase de cálculo no sería más fácil aprender todo esto en una clase de álgebra bueno la respuesta sería sí pero lo que va a ser muy interesante es que uno de los fundamentos bases del cálculo es preguntarse qué pasa si estos puntos se empiezan a acercar más y más y más el uno al otro ya encontramos la tasa de cambio entre 1 y 3 la pendiente de la recta secante entre esos dos puntos el punto 11 y el punto 39 pero qué pasaría si en su lugar encontramos la tasa de cambio o la pendiente de la recta secante entre los puntos 24 y 39 cuál será su pendiente o más aún qué pasaría si nos acercamos un poco más y encontramos la pendiente de la recta secante entre los puntos 2.5 6.25 y 3,9 es más qué pasaría si no seguimos acercando más y más más más bueno pues las pendientes de las rectas secantes se acercarían más y más y más a la pendiente de la recta tangente en x igual a 3 y si pudiéramos encontrar la pendiente de la recta tangente entonces estamos en la misma sintonía porque ojo entonces ya no estaríamos hablando de la tasa de cambio promedio estaríamos hablando de la tasa de cambio instantánea lo cual es una de las ideas centrales de lo que es la derivada y eso vamos a ver muy pronto pero realmente es importante que aprecies que la tasa de cambio promedio entre dos puntos es lo mismo que encontrar la pendiente de la recta secante y si estos dos puntos se empiezan a acercar más y más y más y más y por lo tanto la recta secante empieza conectar puntos que estén cada vez más juntos es decir si la distancia entre esos dos puntos aproxima cero bueno pasan cosas muy interesantes y todo esto lo seguiremos viendo en el siguiente vídeo