Diferenciabilidad y continuidad

lo que quiero que hagamos en este vídeo es explorar la idea de diferencia habilidad en un punto déjame notarlo y esta palabra es una forma elegante de decir es si la derivada de una función está definida en un cierto punto así que recordemos cuál es la definición de derivada y bueno hay muchas formas de escribirla recuerdas en este vídeo vamos a utilizar la definición que dice la derivada de una función f en un punto sep efe prima de se observa que estoy usando la anotación de lagrange porque estoy escribiendo f prima ok efe prima de c es igual al límite cuando x tiende a c df tx - fcc entre x menos c y seguramente la primera vez que ves esta fórmula te suele parecer un poco extraña pero simplemente es calcular una pendiente observa aquí tenemos el cambio en los valores de la función o lo puedes pensar como el cambio en james porque recuerda que es igual a fx entre el cambio en x y lo que estamos intentando es calcular cuánto vale está pendiente cuando x se acerca más y más y más hace o dicho de otra manera estamos intentando calcular esta pendiente cuando el cambio en x se acerca más y más y más a 0 y ya hemos hablado de esto en otros vídeos así que en este vídeo voy a hacer algunas afirmaciones importantes de nuevo no voy a probar rigurosamente cada una de las afirmaciones ya que existe otro vídeo en el cual voy a hablar con más detalle de la prueba de cada una de ellas pero por ahora vamos a verlas usando un poco de intuición la primera afirmación que quiero ver es la siguiente sí efe diferenciable x igual hace entonces efe es continua en x igual hace entonces f es continua en x igual a cero es decir sí efe es diferenciable entonces podemos encontrar este límite de acuerdo y entonces nuestra función es continuar en ese valor x igual a cero ojo no es necesariamente afirmativo el caso contrario no es forzoso que si una función es continua entonces sea diferenciable en ese punto pero sí podemos afirmar lo siguiente y esta es otra forma de escribir lo mismo que acabo de decir si f no es continúan sé si f no es continua en x igual hace entonces efe no será diferenciable en x igual a 0 y es más déjame darte algunos ejemplos de funciones no continuas y con ellas pensemos cuando podemos encontrar este límite así que la primera gráfica es aquí donde tenemos una discontinuidad aquí nuestra función está definida en x igualase pero puedes ver que cuando x toma valores más grandes que sea la gráfica se desplaza hacia abajo así que qué es lo que pasa cuando intentamos tomar este límite bueno recuerda lo único que se hace mención arriba es a la pendiente cuando x toma un valor arbitrario así que tomemos lo por aquí aquí tenemos el punto x coma efe de x por acá tenemos el punto c fcc y si tú buscas el límite por la izquierda de este límite esencialmente lo que quieres encontrar es está pendiente de aquí y es más intentemos acercarnos más y buscar está pendiente observa si nos acercamos más buscando está pendiente y nos acercamos más búsqueda está pendiente en todos los casos la pendiente será igual a cero así que una forma de pensarlo es que la derivada es decir el límite cuando nos aproximamos por la izquierda parece se aproxima a cero ahora qué pasa si tomamos algunas equis a la derecha y ahora por acá tenemos el punto x efe de x y entonces observan cuando nos tomamos la pendiente entre estos dos puntos es decir f de x efe [ __ ] esto sería la pendiente de esta recta y si aquí se acerca un poco más tenemos la pendiente de esta otra recta y si nos acercamos más tenemos la pendiente de esta otra recta y entonces observa entre más y más y más nos acerquemos a ser nuestra pendiente de hecho tiende a menos infinito pero lo más importante es que tienden a valores completamente distintos por la derecha y por la izquierda esta expresión se está aproximando a valores distintos por la derecha y por la izquierda y por lo tanto en este caso este límite no existe eso quiere decir que la función es no diferenciables una vez más no estamos haciendo la prueba rigurosa aquí sólo estamos trabajando con la intuición de una función que al menos en este caso es claramente no continua y por lo tanto resulta ser no diferenciables bien traigamos otro caso por aquí ahora tenemos lo que se conoce como una discontinuidad removible o un punto de discontinuidad así que una vez más vamos a aproximarnos por la izquierda si este es x entonces este es el punto x fx y lo que es interesante es la expresión que tenemos de la pendiente entre los puntos x ftx y c fcc es decir en este punto no ese punto porque recuerda tenemos una discontinuidad removible así que esta expresión está calculando la pendiente de esta recta y si x se acerca un poco más a c ahora tenemos la pendiente de esta recta y si nos acercamos un poco más ahora tenemos la pendiente de esta recta así que si nos aproximamos por la izquierda es decir si extiende hace por la izquierda tenemos el caso en el que la pendiente de esta recta se aproxima a menos infinito y ahora si nos aproximamos por la derecha es decir por valores mayores hacen bueno entonces tengo la pendiente entre estos dos puntos ahora tenemos una pendiente positiva pero cada vez se hace más positiva de cualquier manera esto no se está aproximando a un valor finito por un lado tendremos a más infinito y por el otro lado a menos infinito y por lo tanto el límite de esta expresión no existe una vez más no estoy dando una prueba rigurosa pero estoy intentando construir una función que sea discontinua y en donde podamos encontrar este límite y justo aquí está el interesante será posible que está la situación en donde f no está definida en sem y por lo tanto no es continua bueno tampoco si f no está definida en sem entonces esta parte fcc aquí en el límite no tendrá sentido y en definitiva no sería diferenciable bueno ahora vamos a pensar en lo siguiente ya te di ejemplos donde la función no es continua y por lo tanto no fue diferenciable también hicimos otra declaración recuerdas nos preguntábamos si existía una función efe que fuera continua y que no fuera diferenciable y bueno hay muchas funciones podemos dar un número infinito de funciones que son continuas pero no diferenciables así que por ejemplo aquí tenemos la función valor absoluto pero por supuesto no forzosamente tiene que ser esta función en este caso tenemos la función que igual al valor absoluto de x menos ser y porque esta función no es diferenciable en x igual hace bueno piensa un poco en esa expresión piensa un poco en lo que está pasando de nuevo vamos a intentar calcular las pendientes entre el punto x coma ftx y el punto que hace como fcc así que si x está por aquí tenemos aquí al punto x coma fx y entonces estamos aproximando nos hace por la izquierda y observa tenemos esta pendiente si nos acercamos un poco más tenemos la misma pendiente y aún más tenemos la misma pendiente que en este caso es una pendiente negativa así que si x por la izquierda este límite tomará un valor negativo pero si aquí se aproximase por la derecha este límite observa va a ser igual a 1 va a ser la pendiente de esta recta que conecta a todos estos puntos y su pendiente es 1 así que el límite por la derecha es 1 el límite por la izquierda es un valor negativo de hechos menos 1 entonces se está aproximando a dos valores distintos mientras que se acercasen ya sea por la derecha o por la izquierda y entonces podemos concluir que este límite no existe por la derecha nos estamos aproximando al valor de uno por la izquierda al valor de menos uno y por lo tanto esta función no es diferenciable déjame poner que no e intuitivamente si pensamos en la pendiente de la recta tangente observe que aquí podemos dibujar una infinidad de rectas tan clientes podemos decir que tal vez esta sea la recta tangente o tal vez esta sea la recta tangente esta también pasa por el punto se coma cero y podemos seguir haciendo esto porque no es esta la recta tangente y seguir y seguir y seguir así que quiero que te quedes con la intuición detrás de esta declaración y aunque no la probé aquí pero lo haré en un vídeo futuro es importante que la tengas presente si f es diferenciable en sem entonces f es continua en x igual a cero que también se puede decir de la siguiente manera si f no es continua n que es igual a cm entonces efe no va a ser diferenciable en x igual a c y espero que estos ejemplos te hayan servido para obtener esa intuición y claro también está el caso en el que tenemos una función continua pero ojo no forzosamente debe de ser diferenciable y aquí está el contraejemplo la función valdrá de equis donde tenemos una función continúan sem pero esta función no fue diferenciable en x igual a cero eso es todo por este vídeo nos vemos pronto