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Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)

Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 2

Lección 10: La regla del cociente
Matemáticas
Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)
Diferenciación: definición y reglas básicas de las derivadas
La regla del cociente
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Repaso sobre la regla del cociente

Google Classroom
Revisa tu conocimiento sobre la regla del cociente para derivadas y utilízalo para resolver problemas.

¿Cuál es la regla del cociente?

La regla del cociente nos dice cómo derivar expresiones que son cocientes de otras dos más sencillas:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction
Básicamente, tomas la derivada de f multiplicada por g, le restas f multiplicada por la derivada de g y divides el resultado entre open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared.
¿Quieres aprender más acerca de la regla del cociente? Revisa este video.

¿Qué problemas puedo resolver con la regla del cociente?

Ejemplo 1

Considera el cálculo de la derivada de start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction:
=ddx(sin⁡(x)x2)=ddx(sin⁡(x))x2−sin⁡(x)ddx(x2)(x2)2Regla del cociente.=cos⁡(x)⋅x2−sin⁡(x)⋅2x(x2)2Deriva sin⁡(x) y x2.=x(xcos⁡(x)−2sin⁡(x))x4Simplifica.=xcos⁡(x)−2sin⁡(x)x3Cancela los factores comunes.\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\sin(x))x^2-\sin(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Regla del cociente.}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Deriva }\sin(x)\text{ y }x^2.} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{Simplifica.}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{Cancela los factores comunes.}} \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 1
  • Corriente
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

Ejemplo 2

Supón que nos dan esta tabla de valores:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 4minus, 208
H, left parenthesis, x, right parenthesis se define como start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, y nos piden encontrar H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
La regla del cociente nos dice que H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis es igual a start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Esto significa que H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis es igual a start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Ahora, sustituyamos los valores de la tabla en la expresión:
H′(4)=f′(4)g(4)−f(4)g′(4)[g(4)]2=(0)(−2)−(−4)(8)(−2)2=324=8\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 1
  • Corriente
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 241minus, 12
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

¿Quieres intentar más problemas como este? Revisa este ejercicio.

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