Cálculo de la derivada de sin(x)

tenemos aquí dos de las derivadas más útiles en cálculo sabemos que la derivada con respecto a x del seno de x es el coseno de x y que la derivada con respecto a x del coseno de x es el menos seno de x esta parte derivadas nos ayudan a resolver derivadas mucho más complicadas ahora bien lo que vamos a hacer en este vídeo será profundizar más vamos a demostrar esta primera derivada en este vídeo no probaremos la segunda pero podemos probarla usando la información que utilizaremos en esta demostración espero que esto te haga sentir más seguro y que veas que estas expresiones no son inventadas y que hay un rigor matemático detrás así que vamos a intentarlo la derivada con respecto a x del seno de x bueno por definición es el límite cuando delta de x tiende a 0 de el seno de x más delta de x - el seno de x esto entre delta de x simplemente es la pendiente de la recta entre los puntos x x y x + delta de x coman 0 de x + delta de x entonces cómo podemos evaluar esta expresión bueno podemos reescribir el seno de x + delta de x usando las identidades trigonométricas de la suma de ángulos así que esto será lo mismo que el límite cuando delta se extiende a 0 y ahora si si aplicamos la identidad trigonométricas del pse nombre de una suma de ángulos esto me va a quedar como el coseno de x por el seno de delta de x más el seno de x por el coseno de delta tx esto es lo que sale del seno de una suma de ángulos ya esto le quitamos el seno de x y todo esto entre delta de x lo único que hice fue usar las identidades trigonométricas de la suma de ángulos y esto a su vez se puede describir como el límite cuando delta de extiende a cero y déjame poner primero esta parte de rojo del coseno de x por el seno de delta tx entre delta de x y tomaré todo lo demás en color anaranjado observa que tengo la suma de varias cosas y todo está dividido entre delta de x entonces estoy separando las fracciones más el seno de x por el coseno de delta tx - el seno de x todo esto entre delta de x recuerda estoy tomando el límite de toda esta expresión ahora el límite de una suma es lo mismo que la suma de los límites entonces esto será igual a el límite cuando delta de x tiende a 0 del coseno dx que multiplica al seno de delta de x entre delta de x solo lo estoy escribiendo de esta forma el límite cuánto delta de x tiende a cero y veamos si puedo factorizar algo por aquí tengo el seno de x que multiplica al seno de delta de x menos 1 ok y todo esto entre delta de x y revisemos si podemos simplificar esto un poco más en este primer límite observa que este coseno de que es no tiene nada que ver con el límite cuando delta se extiende a 0 entonces puedo sacarlos del límite tengo jose de x que multiplican al límite cuando delta de x tiende a cero del seno de delta de x entre delta tx ahora para este segundo límite primero quiero describir al coseno de delta de x a menos 1 como menos que multiplica a 1 - el coseno del delta de x y después tengo este signo negativo por el seno de x y por esta expresión y observa que pasa lo mismo que en el primer sumando el seno de x en este segundo sumando no tiene nada que ver con este límite cuando delta se extiende a 0 entonces puedo sacarlo del límite y me quedan menos seno de x que multiplican al límite cuando delta de que extiende a 0 de 1 - el coseno de delta de x entre delta de x para finalizar recordemos que en otros vídeos hemos demostrado que si usamos el teorema de comparación obtenemos que el límite cuando delta de que extiende a 0 del seno de delta de x entre delta de x todo esto es igual a 1 y también en otro vídeo usando la idea de que este límite es igual a 1 demostramos que este otro límite de aquí es igual a cero así que te encargó que veas aquellos vídeos donde demuestren estos dos límites ambos límites son muy útiles en el cálculo y usando esto simplemente nos quedaremos con coseno de x por uno menos seno de x por 0 por lo tanto sólo nos quedaremos con el coseno de x y hemos acabado hasta el siguiente vídeo