Justificación de la regla de la potencia

lo que quiero hacer en este vídeo es ver si los resultados que nos dan la regla de las potencias tienen sentido para nada se trata de una demostración y más bien se trata de hacerte sentir más cómodo con esta regla veamos si fx es igual a equis que dice la regla de las potencias entonces f prima de x se dan en x el 1 está de manera implícita entonces ponemos el 1 y es x al 11 que es igual a una vez x a la 0 y esto es igual a 1 y ahora esto tendrá sentido desde el punto de vista conceptual entonces voy a graficar estas funciones a ver voy a empezar a poner mis ejes así que aquí está el eje y aquí está el eje x y ahora voy a graficar el fx así que esto es igual a x se ve más o menos así esto es igual a x si esto es que es igual a x que bueno es lo mismo que fx es igual a fx y entonces la derivada o bueno mejor voy a poner que esto es igual a fx mejor pongo fx es igual a equis y bueno también pues es también la pongo bueno y ahora voy a graficar la derivada y ese es uno o sea para todos los valores de x la derivada de su no y esto es consistente con todo lo que conocemos hasta ahora de derivadas y pendientes ahora veamos la tangente de nuestra función cual es la tangente en este punto bueno pues es 1 en nuestra función tiene pendiente 1 y no importa qué valor tenga x es una línea la pendiente vale 1 en este punto la pendiente es 1 en este otro punto la pendiente es 1 y si vamos a este otro punto la pendiente es 1 así que tenemos una respuesta válida ahora probemos con algo en que la pendiente cambia digamos que tengo gdx que sea igual a x al cuadrado entonces que nos dice la regla de las potencias bueno pues n es igual a 2 entonces esto será 2 veces x a la 2 menos 1 que es igual a 2 veces x a la 1 que es 2x ahora veamos si esto tiene sentido y entonces voy a hacer la gráfica lo más preciso que pueda bueno voy a tratar de y graficar lo mejor posible y vamos y vamos con los ejes trataré de hacerlo lo más preciso posible este es x este es la vera vamos con 1 2 3 4 5 1 2 3 4 y aquí 1 2 3 4 así que quede x cuando x 0 0 cuando x es 1 vale 1 cuando x es menos 1 vale 1 cuando x es 2 es cuatro y cuando x es menos dos es 4 y esto es una parábola que ya la hemos visto por mucho tiempo a ver este punto lo voy a volver a acomodar de hecho voy a rehacer estos últimos dos puntos entonces se ve algo más o menos como esto tiene que pasar por aquí y de este lado bueno tiene que ser simétrico estoy tratando de hacer lo mejor que puedo se ve como esto bien esta es la gráfica de gx igual a x al cuadrado bien ahora vamos a graficar que prima de x o lo que nos dice la regla de las potencias que es g prima y es 2x pues es una línea que pasa por el origen y tiene pendiente 2 y se ve más o menos como esto cuando x vale 1 pues gdx vale 2 y cuando x vale 2 pues gdx vale 4 entonces se ve más o menos como voy a tratar de hacer mi mejor línea recta posible y se ve como esto la pregunta es tiene sentido esto si observamos la tangente de nuestra gráfica y observamos este punto a ver voy a usar un color que destaque y voy a tratar de graficar lo mejor posible la tangente y observamos que tiene una pendiente alta y negativa y efectivamente está muy inclinado y es negativo entonces para x es igual a 2 entonces g prima a no no es para x igual a menos 2 g prima de menos 2 es igual a 2 veces menos 2 que es igual a menos 4 esto nos dice que el valor de la pendiente en este punto es menos 4 todo indica que así lo es es un valor grande y negativo el valor de m es igual a menos 4 y se ve bien es una pendiente bastante pronunciada y negativa y ahora qué pasa en este punto cuando x vale 0 nos está diciendo que la pendiente de nuestra función en x es igual a cero es g prima de 0 que es igual a dos veces cero a 0 y tiene sentido si revisamos nuestra parábola nuestra función original en el vértice en 0 la pendiente 0 es el punto mínimo ahí se ve que la pendiente es 0 y ahora qué pasa cuando x vale 2 bueno pues en este punto la pendiente se ve pronunciada es positiva la tangente en este punto es pronunciada y positiva y que nos dice la derivada bueno utilizando la regla de las potencias nos dice que g prima de 2 o sea estamos viendo cuál es el valor de la tangente en ese punto entonces será dos veces 2 que es igual a 4 y entonces en este punto la pendiente m es igual a 4 bueno utilizo m porque es la letra que siempre utilizamos para denotar la pendiente y suena razonable bueno yo te invito a que tomes puntos cercanos a este cálculo es la pendiente y puedas comprobar que la regla de las potencias proporciona resultados que tienen sentido y funciona