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Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC)
Curso: Cálculo avanzado 2 (AP Calculus BC) > Unidad 3
Lección 1: Introducción a la regla de la cadena- Regla de la cadena
- Errores comunes en la regla de la cadena
- Regla de la cadena
- Identificar composiciones de funciones
- Identifica funciones compuestas
- Ejemplo resuelto: derivada de cos³(x) con la regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: derivada de √(3x²-x) con la regla de la cadena
- Ejemplo resuelto: la derivada de ln(√x) usando la regla de la cadena
- Introducción de la regla de cadena
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Regla de la cadena
La regla de la cadena nos dice cómo encontrar la derivada de una función compuesta. Repasa tu conocimiento sobre composiciones de funciones, y aprende a aplicar correctamente la regla de la cadena.
La regla de la cadena establece que:
Con ella podemos derivar funciones compuestas.
Breve repaso de funciones compuestas
Una función es compuesta si puede escribirse como f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis. En otras palabras, es una función dentro de una función, o sea una función de una función.
Por ejemplo, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 es compuesta, porque si hacemos start color #1fab54, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 y start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, entonces start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
start color #e07d10, g, end color #e07d10 es la función dentro de start color #1fab54, f, end color #1fab54, por lo que decimos que start color #e07d10, g, end color #e07d10 es la función "interior" y start color #1fab54, f, end color #1fab54 la función "exterior".
Por otra parte, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, x, squared no es una función compuesta. Es el producto de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis y g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, pero ninguna de las funciones está dentro de la otra.
Error común: no reconocer si la función es compuesta o no
Generalmente, la única manera de derivar una función compuesta es utilizando la regla de la cadena. Si no reconocemos que una función es compuesta y que debe aplicarse la regla de la cadena, no seremos capaces de derivar correctamente.
Por otro lado, aplicar la regla de la cadena en una función que no sea compuesta también dará por resultado una derivada incorrecta.
Especialmente con funciones trascendentes (por ejemplo, funciones trigonométricas y logarítmicas), los estudiantes a menudo confunden composiciones como natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis con productos como natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.
Error común: identificar equivocadamente las funciones interior y exterior
Incluso cuando un estudiante reconoce que una función es compuesta, podría tener mal las funciones interior y exterior. Esto seguramente terminaría en una derivada incorrecta.
Por ejemplo, en la función compuesta cosine, squared, left parenthesis, x, right parenthesis, la función exterior es x, squared y la función interior es cosine, left parenthesis, x, right parenthesis. Los alumnos se confunden a menudo con este tipo de función y creen que cosine, left parenthesis, x, right parenthesis es la función exterior.
Ejemplo resuelto de la aplicación de la regla de la cadena
Vamos a ver cómo se aplica la regla de la cadena al derivar h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Observa que h es una función compuesta:
Puesto que h es compuesta, podemos derivar mediante la regla de la cadena:
Descrita verbalmente, la regla dice que la derivada de la función compuesta es la función interior start color #e07d10, g, end color #e07d10 dentro de la derivada de la función exterior start color #11accd, f, prime, end color #11accd, multiplicada por la derivada de la función interior start color #ca337c, g, prime, end color #ca337c.
Antes de aplicar la regla, vamos a obtener las derivadas de las funciones interior y exterior:
Ahora apliquemos la regla de la cadena:
Practica la aplicación de la regla de la cadena
¿Quieres más práctica? Intenta resolver este ejercicio.
¿Quieres más práctica? Intenta con este ejercicio.
Error común: olvidar multiplicar por la derivada de la función interior
Un error común de los estudiantes es que solo derivan la función externa, lo que da como resultado f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, mientras que la derivada correcta es f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Otro error común: calcular f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Otro error común es derivar f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis como la composición de las derivadas, f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Esto también es incorrecto. La función que debe estar dentro de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis es g, left parenthesis, x, right parenthesis, no g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
Recuerda: la derivada de start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 es start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. No es start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd ni start color #11accd, f, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.
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