Errores comunes en la regla de la cadena

ya hemos hecho varios vídeos sobre las reglas de la cadena en donde vemos muchos ejemplos sobre el tema pero lo que vamos a hacer en este vídeo es enfocarnos en los malentendidos clave que se cometen a menudo y de hecho hemos sacado estos malentendidos de los amigos que han presentado las pruebas de app del college board así que imagina que queremos tomar la derivada de esta siguiente función de la función logaritmo natural del seno de x la derivada con respecto a x del logaritmo natural del seno de x entonces el primer malentendido clave que vamos a tratar y que puedes tener es cuando trabajas con funciones trascendentales y decir funciones trascendentales es una forma elegante de llamar a funciones como las trigonométricas o las funciones logarítmicas etcétera que por definición no usan las típicas operaciones algebraicas así que cuando ves funciones trascendentales como éstas o composiciones de estas entonces muchas personas se confunden y piensan que esto es una multiplicación de funciones así que en un principio cuando ves esto piensas que esto es exactamente lo mismo que déjame escribirlo aquí la derivada con respecto a x del lugar y tmo natural de x esto que multiplica al seno de x y puedes ver que en esta forma como están escritas se ven muy similares este es el producto de dos funciones observan puedes ver el logaritmo natural de x como efe de x y al seno de x como x y ahora sí aquí puedes ver cómo es el producto de efe y de gm y por lo tanto tendremos que usar la regla del producto para resolver esta derivada déjame escribirlo en este caso usamos la regla del producto pero ten cuidado aquí tenemos la composición de funciones en esta ocasión tenemos a efe deje de x porque si llamamos a gd x al seno de x entonces aquí tendríamos la función f que es el logaritmo natural aplicado al seno de x es decir aplicado a gtx observamos el logaritmo natural del seno de x es lo mismo que efe dgp de x así que si alguien te pregunta cuánto es fx bueno ese sí es el logaritmo natural de x pero aquí tenemos el logaritmo natural de gd x el logaritmo natural del seno de x bien entonces aquí está la clave ten cuidado cuando tengas una composición de funciones trascendente usa la regla de la cadena si es que la tienes ojo no la regla del producto y de hecho ten cuidado más porque puede existir en alguna ocasión que tengas una combinación del producto de una composición de funciones en cuyo caso será un poco más laberíntico y la resolución así que pon mucha atención de que no estás trabajando con una composición de funciones bien ahora vamos a hablar del siguiente malentendido clave que se puede tener y es que aunque sepas que tienes que usar la regla de la cadena en algún punto no sepas cómo terminarla o más bien hace falta determinar la derivada es más déjame usar el mismo ejemplo para que veas a lo que me refiero la regla de la cadena de aquí nos dice lo siguiente mira primero tenemos que tomar la derivada de la función exterior con respecto a la función interior y bueno la derivada del logaritmo natural de x es 1 / x 0 no queremos la derivada del logaritmo natural de x con respecto a x queremos esa derivada con respecto a ge de x por lo tanto no vamos a tomarnos como entrada a x y vamos a poner como entrada a gd x entonces en lugar de poner uno entre x vamos a poner uno entre g de x pero como ya sabemos que gdx es el seno de x bueno pues esto es igual a 1 entre el seno de x ahora el malentendido clave que te quiero decir es parar justo aquí y no terminar la derivada es decir hacer bien la primera parte de la derivada y olvidar la segunda parte observa aquí todavía tenemos que tomar esto y multiplicarlo por g prima de x es más déjame escribir que prima de x bueno quiero la derivada del seno de x con respecto a x lo cual sabemos que es el coseno de x entonces en este ejemplo de aquí la derivada completa va a ser bueno primero tengo esta parte que es uno entre el seno de x por la segunda parte que es el tx así que vamos a escribirlo 1 / seno de x por el co seno de x así que una vez más para estar seguros de que no estás cometiendo uno de los malentendidos claves es más déjame hacer una caja para poner la respuesta correcta y tener todo mucho más limpio para no cometer uno de estos malentendidos claves primero tienes que fijarte si tienes una composición de funciones ojo si tenemos una composición de funciones entonces no vamos a usar el producto de funciones en este caso no tenemos el logaritmo natural de x por el seno de x tenemos al logaritmo del seno de x y después cuando aplicas la regla de la cadena ya que existe la derivada de la función exterior con respecto a la función interior es decir la derivada del logaritmo natural de x con respecto al seno de x ahora me recuerda a multiplicar esto mismo por la derivada de la función interior con respecto a x así que no olvides la derivada de la función interior bien espero que hasta aquí vayamos bien porque quiero ver un tercer típico malentendido y es es que en lugar de aplicar la regla de la cadena como está escrita aquí te tomas a la derivada de la función exterior con respecto a la derivada de la función interior por ejemplo cometes el error de tomarte efe prima de g prima de x que en este caso f prima de x ya sabemos es 1 / x pero ahora la derivada de gx es el coseno de x ya lo vimos hasta aquí entonces te quedaría la derivada de la función exterior con respecto a la derivada de la función interior lo cual está mal y pondrías uno entre el coseno de x y ten mucho cuidado de que no lo estás haciendo mal debe quedarte la derivada de la función exterior con respecto a la función interior no con respecto a la derivada de la función interior y recuerda después multiplicarlo por la derivada de la función interior así que espero que todo esto te ayude ahora bien si todo esto te es desconocido te encargo que veas la serie entera sobre la introducción a la regla de la cadena en la can academia este vídeo va a formar parte del tema pero aquí vamos a estar solamente enfocados en los malentendidos de la regla de la cadena y no en explicar cómo funciona así que ya sabes primero no uses la regla del producto después no te quedes con la regla de la cadena la mitad y por último no evalúes efe prima de g prima de x estos tres son los malentendidos típicos la regla de la cadena así que ten cuidado