Ejemplo resuelto: derivada de cos³(x) con la regla de la cadena

digamos que tenemos la función f de x igual a coseno de x al cubo esto también se puede escribir de esta otra forma como coseno de x entre paréntesis elevado a la tercera potencia y queremos encontrar f prima de x lo que vamos a hacer es aplicar la regla de la cadena y vamos a verlo un poco con más profundidad para tratar de hacer una conexión entre lo que estamos viendo aquí y lo que puede llegar a ver en tus libros de texto de cálculo así es que si tenemos una función que está definida esencialmente como la composición de dos funciones y observa aquí en esta función estamos elevando una cosa a la tercera potencia aunque no estamos elevando simplemente una equis a la tercera potencia sino una función de x también lo podemos ver de esta otra forma estamos tomando la función coste no de x este coseno de x lo estamos metiendo en otra función que lo que hace es elevarlo a la tercera potencia y también lo podemos explicar de esta otra forma tomamos una equis como entrada de la función coseno aunque ya aquí tenemos la función coseno y ponemos la equis como entrada y eso como resultado nos da 12 9 x y luego a eso lo vamos a usar como entrada en otra función que lo que hace es simplemente tomar toda la entrada y elevarla a la tercera potencia y entonces qué es lo que vamos a obtener bueno pues aquí tenemos que elevar a la tercera potencia pero qué es lo que estamos elevando a la tercera potencia pues estamos recibiendo como entrada a coseno de x entonces elevamos a coseno de x a la tercera potencia por lo que ésta es una función compuesta a esta función azul le podemos llamar la función b ya ésta le podemos llamar la función y así es que estamos tomando la equis y dándosela como entrada a la función y por lo que esto de aquí es q de equis y luego estamos tomando todo esto y de x como la entrada de la función b y entonces esta salida tiene que ser b de la entrada pero la entrada es de x así es que aquí tenemos b de o de x esto también lo podemos escribir de esta otra forma como ve de coseno de x porque y es la función coseno y b es una función que le des la entrada que le des la eleva a la tercera potencia si es que si le diéramos simplemente una equis vdx sería x al cubo pero aquí le estamos dando coseno de x entonces tenemos cosas 9 x al cubo y ahora si tenemos una función compuesta que se puede escribir como la composición de dos funciones como hicimos por acá entonces podemos aplicar la regla de la cadena aquí estamos diciendo que f de x se puede escribir como la composición de b con luke y ya sé que lo estoy repitiendo muchas veces pero cada vez lo explico un poquito diferente porque pues la primera vez que ves estos temas puede llegar a ser un poco complicado y difícil además cada vez entiendas con mayor profundidad qué es lo que realmente está pasando por aquí entonces vamos a seguir escribiendo esto de distintas formas fx es la composición de ve con y entonces se puede escribir como be compuesta con q y evaluada en x y la regla de la cadena nos dice que si tenemos una situación como ésta entonces la derivada f prima de x y esto es algo que va a saber tal cual en tus libros de texto de cálculo derivada de fx es igual a la derivada con respecto a v x o sea de prima evaluada en o de x por la derivada de de x con respecto a x osea q prima evaluada en x y listo esto de aquí es una de las expresiones de la regla de la cadena pero ahora como la evaluamos en este caso en particular bueno podemos empezar por usar los mismos colores esta función que simplemente eleva a sus entradas al cubo la vamos a colorear de azul ahora f prima de x otra forma de expresar la connotación diferencial también voy a escribir las varias veces con la anotación diferencial pero podemos empezar por aquí como la derivada de la función b con respecto a la función u y de hecho eso es justo lo que tenemos aquí en este término pero nos falta multiplicar por la derivada de y con respecto a x que hoy aquí tenemos que poner la derivada de q y esta parte es justo este término de aquí en algunos libros te lo vas a encontrar de esta forma con la notación diferencial y en otros de esta forma pero este término de aquí es justo este término de acá y este otro término es este término de acá pero bueno ahora sí vamos a evaluar estas cosas seguramente ya estás un poco aburrido de hablar en puros términos abstractos así es que esto va a ser igual a por aquí vamos a tener la diferencial de una función con respecto a otra y vamos a estar multiplicando por una diferencial con respecto a una variable pero bueno y estamos tomando la diferencial de la función b con respecto a u pero aquí la función be evaluada en nu el coste no de x elevado al cubo seno de x elevado al cubo y estamos derivando con respecto al coste no de x y queremos multiplicar esto por la derivada de v con respecto a x pero u es el coste no de x y estamos derivando con respecto a x y bueno esto ya lo hemos visto antes nosotros ya sabemos que la derivada con respecto a x d con seno de x nosotros ya sabemos que esta derivada es igual a menos seno de x así es que esta parte de aquí nosotros ya sabemos que es igual a menos seno de x tal vez estés más acostumbrado a ver esta anotación de esta forma realmente quieren decir lo mismo a mí me gusta más esta porque me queda más claro que estamos derivando la función coseno de x con respecto a x simplemente es notación pero ahora que es esta cosa que tenemos aquí bueno pues lo podemos ver de esta otra forma si yo tuviera la derivada con respecto de x de x a la tercera potencia si tuviéramos esto y bueno déjame pongo por aquí unos paréntesis para que esté un poquito más claro que esto sería igual a 3 por equis elevado a la segunda potencia ahora la noción general es que si estoy derivando algo elevado a la 3 con respecto a ese algo y por cierto ese algo puede ser cualquier cosa podría ser color amarillo de hecho ni siquiera tiene por qué ser una equis puede ser una pelotita por aquí estamos haciendo la derivada de el círculo naranja elevado a la tercera potencia con respecto al círculo naranja pues eso va a ser igual a tres por el círculo naranja elevado a la segunda potencia aunque bueno aquí estos círculos son amarillos verdad entonces vamos a ponerlos de color naranja estamos derivando el círculo naranja elevado a la tercera potencia con respecto al círculo naranja y eso es igual a tres por el círculo naranja elevado al cuadrado y entonces si en lugar de círculo naranja tenemos coseno bx y estamos derivando el coste de x elevado a la 3 con respecto al coste de x entonces esto nos va a quedar igual a 3 por el coste no de x elevado a la segunda potencia elevado a la segunda potencia y observa aquí lo que estamos haciendo es derivar a la función exterior con respecto a la función interior entonces vamos a obtener lo mismo que tendríamos si aquí tuviéramos una equis pero en lugar de una equis tenemos coseno de x por lo que en lugar de ser 3 por x al cuadrado ahora tiene que ser 3 x coste 9 x al cuadrado sólo sustituimos x por coseno bx y luego la regla de la cadena nos dice que si lo que queremos es obtener la derivada con respecto a x sólo nos falta multiplicar por la derivada de coseno de x con respecto a x como aquí y ya casi terminamos ya casi encontramos la derivada la derivada es esto por esto efe prima de x es igual a menos -3 3% o de x seno de x por coseno de x al cuadrado coseno de x al cuadrado y listo ya terminamos aquí estuvo un poquito largo porque también estábamos explicando cómo funcionaba la regla de la cadena pero una vez que te acostumbras a ella lo puedes hacer rapidísimo lo único que tienes que hacer es derivar a la función exterior con respecto a la función interior lo que hay tratar a la función interior como si fuera simplemente una equis y entonces lo que nos queda es tres por la función de adentro al cuadrado cazenove x al cuadrado y luego tenemos que multiplicar por la derivada de la función de adentro con respecto a x o sea simplemente tenemos que encontrar la derivada de coseno de x pero eso es menos seno de equis y listo ahora sí ya terminamos