Ejemplo resuelto: la derivada de ln(√x) usando la regla de la cadena

tenemos aquí la función f x igual a logaritmo natural de la raíz cuadrada de x y lo que queremos hacer es encontrar la derivada de f y la clave para encontrarla es darnos cuenta que f se puede ver como la composición de dos funciones así es que vamos a hacer un diagrama donde eso se vea muy claramente a ver qué es lo que está pasando aquí si tomamos una equis y se la damos a esta función que es lo primero que hacemos bueno pues le sacamos la raíz cuadrada si tomamos una equis y se la damos a la función f lo primero que estamos haciendo en realidad es dársela a la función que saca la raíz cuadrada de x tenemos aquí una función que lo que hace es sacar la raíz cuadrada de la entrada que le demos entonces cuando a esta función le damos una equis como entrada nos regresa como salida de equis y luego qué es lo que sucede ene efe bueno ya que tenemos la raíz cuadrada de equis sacamos logaritmo natural y eso lo podemos ver como otra función que lo que hace es sacar el logaritmo natural de la entrada que le demos y en estas funciones estoy utilizando estos cuadrados para representar a la entrada que le damos a la función así es que si a esta función le damos como entrada la raíz de x lo que nos regresa es el logaritmo natural de la entrada pero la entrada es la raíz cuadrada de x lo cual es exactamente igual a fx entonces ya escribimos a efe x como la composición de dos funciones porque f x la podemos ver como la composición de estas dos funciones todo esto es efe v x aquí podemos ver claramente que es la composición de dos funciones tomamos una entrada se la damos a esta otra función y la salida se la damos a otra función que nos produce la salida de la función f a esta función de aquí le podemos llamar la función y entonces tenemos esta función de x igual a la raíz cuadrada de x y entonces tomamos la salida de esa función y se la damos como entrada a esta otra función a la que le podemos llamar be y que hace la función be pues toma el logaritmo natural de la entrada que le demos en este caso cuando tenemos esta efe estamos tomando la función b pero tomando como entrada la raíz de x pero eso es sólo en este caso particular en el que estamos construyendo a fx a b le podemos dar cualquier entrada pero si le damos como entrada la raíz x nos da como salida el logaritmo natural de la raíz de x pero si lo queremos escribir en términos generales podemos escribir de de equis b en x-men t el logaritmo natural de x ahora regresando por acá fx es igual a logaritmo natural de la raíz de x o sea que f de x es igual a b que es el logaritmo natural evaluada en o de x porque v x es la raíz de x así es que f es la composición de estas dos funciones lo cual puede ser muy útil para encontrar la derivada de f porque sabiendo esto la regla de la cadena va a ser muy útil para encontrar la derivada de f y la regla de la cadena nos dice que f prima de x es igual a la derivada de la función exterior de prima evaluada en la función interior y de x la derivada de la función de adentro o sea por prima de x y ahora lo único que nos falta es evaluar estas expresiones pero como hacemos eso bueno pues regresemos por acá tomamos esta función y la derivamos prima de x es igual a la derivada de la raíz cuadrada de x pero aquí para que las cosas sean más fáciles es bueno recordar que la raíz cuadrada de x es igual a x elevado a la potencia un medio y entonces simplemente podemos utilizar la regla de las potencias para las derivadas tenemos un medio por x a la 1 medio menos 1 pero un medio menos 1 es simplemente menos un medio y listo ya terminamos con esta ahora encontramos b prima de x y bueno la derivada del logaritmo natural de x es simplemente 1 / x esto ya lo vimos en algunos otros vídeos pero aquí ya sabemos cuánto es su prima de x ya sabemos cuánto es de prima evaluada en x pero nos falta saber cuánto es de prima evaluada en de x de prima evaluada en de x la podemos encontrar muy fácilmente simplemente tenemos que poner y de x siempre que tengamos una x entonces b prima evaluada en v x es igual a 1 entre q de x lo cual es igual a 1 entre v x es simplemente raíz de x los pies que ponemos por aquí raíz de x entonces este pedazo de aquí ya lo encontramos de prima de v x es uno entre la raíz cuadrada de x esta otra parte de aquí prima de x también ya la calculamos la tenemos por aquí un medio por x a la menos un medio ahora esto de tener x elevado a la potencia menos un medio lo podemos escribir mejor como aquí tenemos un medio y x elevado a la potencia menos un medio lo podemos escribir como uno entre x elevado a la potencia un medio lo cual también es igual a un medio por uno entre la raíz cuadrada de equis o sea uno entre dos por la raíz cuadrada de x entonces esto es igual a empezamos por aquí con mi prima bv x que ya vimos que es uno entre la raíz de x y nos falta multiplicar por el rectángulo naranja o prima de x 1 / 2 por la raíz cuadrada de equis y esto a cuánto es igual bueno a estas alturas es simplemente álgebra tenemos aquí 1 entre 2 y la raíz cuadrada de x por raíz cuadrada de x es simplemente equis y listo la derivada del logaritmo natural de la raíz cuadrada de x se simplifica a 1 entre 2x por aquí hice este diagrama de las funciones para que vayas entrenando ese músculo en tu cerebro que te ayuda a detectar cuando una función es la composición de dos funciones y también para que se entienda un poco mejor todas estas expresiones que puedes ver en tus libros de texto de cálculo o en tus clases pero conforme obtengas un poco más de práctica vas a poder hacer todos estos cálculos directamente en tu cabeza sin tener que escribir todo esto y muy pronto vas a llegar a un punto en el que veas ok f x es igual a el logaritmo natural de la raíz cuadrada de x y eso lo podemos ver como una composición de funciones como un ave de o de equis entonces lo que necesito hacer es tomar la derivada de la función exterior evaluada en la función interior y nosotros ya sabemos que la derivada del logaritmo natural de algo con respecto a ese algo es simplemente 1 entre ese algo y eso es justo lo que tenemos aquí lo que hicimos por acá de hecho puedes pensar cuánto sería la derivada del logaritmo natural de x pues sería 1 / x 0 en realidad aquí nosotros no estamos evaluando en x estamos evaluando en raíz de x entonces la derivada va a ser 1 / raíz de x así es que aquí lo que hacemos es tomar la derivada de la función exterior con respecto a lo que tenemos adentro pero luego nos falta multiplicar por la derivada de lo de adentro de la función interior con respecto a equis y eso es esta parte de acá y listo así terminamos